Rang der Koeffizientenmatrix bestimmen + erweiterte Matrix

Question

1. Untersuche die Lösbarkeit des lin. Gleichungssystems A*x= b. Bestimme den Rang der Koeffizientenmatrix-A und Rang der erweiterten Matrix A(erw), dieses Gleichungssystems. 

2. Ist Gleichungssystem lösbar?

 - Ja, eindeutige Lösung
- Ja, unendlich viele Lösungen
- Nein, nicht lösbar

x1 + x3 - 9x4 + 8x5 = 1

x1 + x2 + x5 + x6 = 4

x1 - x3 - 2x4 + 2x5 = -3

x2 + x3 + 2x4 - x5 + x6 = 7

Answer 1

Hallo Blackmaster,

A * \(\vec{x}\)  =  \(\vec{b}\)

⎡ 1  0   1  -9   8  0   |  1 ⎤

⎢ 1  1   0   0   1  1   |   4 ⎥

⎢ 1  0  -1  -2   2  0  |  -3 ⎥

⎣ 0  1   1   2  -1  1  |   7 ⎦

Gauß-Algorithmus:

⎡ 1  0   1  -9   8  0   1 ⎤

⎢ 0  1  -1   9  -7  1   3 ⎥    Z2 - Z1

⎢ 0  0  -2   7  -6  0  -4 ⎥    Z3 - Z1

⎣ 0  1   1   2  -1  1   7 ⎦

⎡ 1  0   1  -9   8  0   1 ⎤

⎢ 0  1  -1   9  -7  1   3 ⎥

⎢ 0  0  -2   7  -6  0  -4 ⎥

⎣ 0  0   2  -7   6  0   4 ⎦   Z4 - Z2

⎡ 1  0   1  -9   8  0   1 ⎤

⎢ 0  1  -1   9  -7  1   3 ⎥

⎢ 0  0  -2   7  -6  0  -4 ⎥

⎣ 0  0   0   0   0  0    0 ⎦   Z4 + Z3

1)

Sowohl der Rang  (= Anzahl Zeilen - Anzahl Nullzeilen)

      von A als auch der von A_erw  sind  gleich  4-1 = 3 

2) 

Das LGS hat  unendlich viele Lösungen,  weil  Rang(A) = Rang(A_erw)  <  4 (= dim V)    

Gruß Wolfgang