Beweis der Beschränktheit und der Monotonie einer rekursiven Funktion

Question

es gilt zu beweisen bzw. zu prüfen, ob die folgende rekursive Funktion beschränkt und ob sie monoton steigend ist (mit Induktion)

f(0) = 1

f(1) = 7

f(n+1) = 3*f(n) - 2*f(n-1)   für n >=1

Habe den Induktionsschritt soweit geschafft, doch weiß ich nicht wie ich mit dem "f(n-1)" umgehen soll :(

Bin für jeden Tipp dankbar :)

Comments

Tipp: Wenn f(n) > f(n-1) für ein n ist, dann folgt f(n+1) = 3*f(n) - 2*f(n-1) > 2*f(n-1) + f(n) - 2*f(n-1) = f(n).

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Danke für die Antwort, aber darf ich theoretisch auch so vorgehen ?

Da gelten muss f(n) < f(n+1) folgt

3*f(n-1) - 2*f(n-2) < 3*f(n) - 2*f(n-1)

Also sprich einfach von f(n+1) auf f(n) schließen ?

Answer 1

Wenn es um die Beschränktheit (etwa nach oben) geht, dann vielleicht so:

Beh:  Es gibt ein C aus ℝ mit   f(n) ≤ C für alle n ∈ ℕ

Für n = 1 offenbar erfüllt.

Wenn es für alle k≤ n gilt, dann gilt

f(n+1) = 3*f(n) - 2*f(n-1)

          ≤ 3C - 2C = C

also auch f(n+1) ≤ C.

Comments

 Diese Abschätzung ist wohl nicht korrekt.