Konvergenzradius der Potenzreihe ∑(n+2)(n+1)x^n ermitteln

Question

Hey:)

Ich hab diese Reihe gegeben. ∑(n+2)(n+1)x^n

Ich hab zuerst das Quotientenkriterium angewendet, was Blödsinn war.

Dann hab ich das Wurzelkriterium angewendet und komme auf 1 und deshalb wäre keine Aussage über die Konvergenz und Divergenz möglich.

Comments

1. Was verstehen die unter "auf ihrem Konvergenzkreis" ? Soll das "innerhalb von ihrem Konvergentzbereich" heissen oder auf dessen Rand?

2. Ist das eine komplexe Potenzreihe?

Answer 1

Ich hab zuerst das Quotientenkriterium angewendet, was Blödsinn war.

glaub ich nicht:

siehe  https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Bestimmung_des_Konvergenzradius

und bilde  a_n / a_n+1 =  (( n+2)(n+1))    /   (( n+3)(n+2))  =  (n+1) / (n+3)

hat den Grenzwert 1, also   r=1 .

Comments

Aber für die Randbereiche passt es doch nicht, also für -1<x<1 konvergiert die Reihe. Und welche Funktion stellt diese auf Ihrem Konvergenzradius dar? :)

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Da kann man vielleicht sowas machen :

Die Reihe ∑ xⁿ stellt ja die Funktion mit f(x) = 1 / (1-x) dar.

Da darf man ja beides Ableiten und hat  für n=1 bis unendlich

(denn x⁰ fällt ja weg)

∑ n*x^n-1 stellt  die Funktion mit f(x) = 1 / (1-x)² dar.

oder wenn die Summe wieder bei 0 beginnen soll:

∑ (n+1)*xⁿ stellt die Funktion mit f(x) = 1 / (1-x)² dar.

und nochmal dann hast du  nach erneuter Indexanpassung

∑ (n+2)*(n+1)*xⁿ stellt  die Funktion mit f(x) = 2 / (1-x)³ dar.

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Kurze Frage:

Du heißt ja hier bereits für n=0

∑ (n+1)*xⁿ stellt die Funktion mit f(x) = 1 / (1-x)² dar.

Wieso musst du dann hier nochmal den indexanpassen?

Und wie kommst du auf die 2/(1-x)^3?

∑ (n+2)*(n+1)*xⁿ stellt  die Funktion mit f(x) = 2 / (1-x)³ dar.