Beweis der Formel 5^{2^k} = 1 + 2^{k+2} + b2^{k+3}

Question

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe

Schon mal vielen Dank für eure Hilfe 

Answer 1

Ich vermute mal dass k eine natürliche Zahl sein soll (steht allerdings nicht da). Dann kannst du das durch vollständige Induktion über k zeigen.

Comments

Also für k=0 stimmt die Gleichung

Nun setzte ich k = k+1

1+2^k+1+2 + b2^k+1+3 ⇔ 1+ 2^k+2 2 + b2^k+3 2 ⇔ 2 (1+2^k+2  +b2^k+3 ) - 1/2 ⇔ 2 5^{2^k} -1

Aber weiter komme ich nicht. Ist das bis jetzt überhaupt richtig?

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Nochmal: k muss eine natürliche Zahl sein, sonst kann man die Gleichung widerlegen (siehe Antwort von Spielkamerad). Das war aber in dem abgebildeten Text über k nicht vorausgesetzt worden.

Dann muss man nach b auflösen b = (5 ^{(2 ^ k)} - 1 ) / (2^{k + 3}) - 1

Jetzt ist zu zeigen: Unter der Voraussetzung, dass (5 ^{(2 ^ k)} - 1 ) / (2^{k + 3}) - 1 eine ganze Zahl ist, ist auch (5 ^{(2 ^ k)}· 5 ^{(2 ^ k)} - 1 ) / (2^{k + 4}) - 1 eine ganze Zahl. Viel Spaß dabei.

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Also ich bin soweit:

Aus (5 ^{(2 ^ k)} - 1 ) / (2^{k + 3}) - 1 folgt: 2^{k+3} teilt 5^{2^k}-1, denn das -1 kann man ja vernachlässigen da der Bruch eine ganze Zahl ergeben muss.
Aus (5 ^{(2 ^ k)}· 5 ^{(2 ^ k)} - 1 ) / (2^{k + 4}) - 1 folgt :2^{k + 4}  teilt 5 ^{(2 ^ k)}· 5 ^{(2 ^ k)} -1 ⇔ 2¹*2^k+3  teilt  5 ^{(2 ^ k)}· 5 ^{(2 ^ k)} - 1 

Jetzt kann man die Voraussetzung benutzen oder?

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Die Prämisse dieser Folgerung.
Aus (5 ^{(2 ^ k)}· 5 ^{(2 ^ k)} - 1 ) / (2^{k + 4}) - 1 folgt :2^{k + 4}  teilt 5 ^{(2 ^ k)}· 5 ^{(2 ^ k)} -1

ist doch das, was gefolgert werden soll. Das solltest du noch einmal neu formulieren.

Man kann nur  Voraussetzungen benutzen,  die gegeben oder evident sind. Die Voraussetzung "k ist aus ℤ" fehlt immer noch.

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Das k eine ganze Zahl ist mit k ≥0 wurde ja von Spielkamerad gezeigt. Also kann ich das doch benutzen oder?

Ich habe doch einfach nur die Definition der Teilbarkeit angewandt. Es bleibt doch nur zu zeigen, dass die Teilbarkeit auch gilt oder?

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So jetzt hab ich folgendes:

(5 ^{(2 ^ k)}· 5 ^{(2 ^ k)} - 1 ) / (2^{k + 4}) ⇔ (5^{2^k}-1)(5^{2^k}+1)/(2*2^k+3 )  ⇔  (5^{2^k}-1)/(2^k+3 ) *  (5^{2^k}+1)/2  ⇔ b *   (5^{2^k}+1)/2 und wir wissen 5^{2^k}+1 ist gerade also auch aus den ganzen Zahlen. Also ist b * ((5^{2^k}+1)/2) auch aus den ganzen Zahlen

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Und noch mal eine Frage: Wie kommst du darauf das b= (5 ^{(2 ^ k)} - 1 ) / (2^{k + 3}) - 1 ist?

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Das habe ich eine 2 vergessen. Es muss heißen b= (5 ^{(2 ^ k)} - 1 ) / (2^{k + 3}) - 1/2.

Answer 2

Mathematische Aussagen kann man durch einen einzigen Gegenbeweis zerstören, das ist das schöne daran ;-))

5 ^ (2 ^ k) = 1 + 2 ^ (k + 2) + b * 2 ^ (k + 3)

Nach b umstellen :

b = (5 ^ (2 ^ k) - 1 - 2 ^ (k + 2)) / (2 ^ (k + 3))

Wertetabelle k | b

-1 | -0.19098300562505255

0 | 0

1 | 1

2 | 19

2.5 | 198.228

k muss auf jeden Fall schon mal ganzzahlig sein, und auch größer gleich Null sein.

Comments

Schon mal Danke. Daran habe ich gar nicht gedacht. Wie zeigt man jetzt, dass es zu jedem k ein b gibt so das die Gleichung gilt? Man hat  ja jetzt nur gezeigt, dass das k die Eigenschaften hat, die vorausgesetzt waren.

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Ich bezweifle, dass meine Mathe-Kenntnisse ausreichend sind, um dir den Beweis zu zeigen, tut mir Leid.