Erklären wird dir das hier (und auch sonst nirgendwo) kaum jemand, weil man dutzende Seiten darüber schreiben müsste, um alles vollständig zu erklären, und dann würden wir noch nicht einmal wissen, ob du das auch alles verstehst, weil wir dein Vorwissen nicht kennen.
Wenn du Erklärungen suchst, dann musst du in Mathebücher mit dem Thema "Numerische Mathematik" schauen, du musst also selbst aktiv werden.
Was deine Aufgabe betrifft :
https://www.mathelounge.de/452352/interpolation-und-approximation-von-f-x-1-1-x-2
Die Aufgabe dort ist mit deiner Aufgabe fast identisch, nur mit der Ausnahme, dass man in deiner Aufgabe mit dem natürlichen Spline rechnet und nicht die Werte für die zweite Ableitung in den Endpunkten einsetzt.
Natürlicher Spline bedeutet, dass man die Werte für die zweite Ableitung in den Endpunkten gleich Null setzt. Die benutzte Webseite findest du auf der Webseite von oben genannt.
x aus [0; 1/2]
S0(x) = -9/35·x^3 - 47/140·x + 1
= -9/35·x^3 - 47/140·x + 1
x aus [1/2; 1]
S1(x) = 17/35·(x-1/2)^3 - 27/70·(x-1/2)^2 - 37/70·(x-1/2) + 4/5
= 17/35·x^3 - 39/35·x^2 + 31/140·x + 127/140
x aus [1; 2]
S2(x) = -13/140·(x-1)^3 + 12/35·(x-1)^2 - 11/20·(x-1) + 1/2
= -13/140·x^3 + 87/140·x^2 - 53/35·x + 52/35
x aus [2; 3]
S3(x) = -3/140·(x-2)^3 + 9/140·(x-2)^2 - 1/7·(x-2) + 1/5
= -3/140·x^3 + 27/140·x^2 - 23/35·x + 32/35
Wenn man den natürlichen kubischen Spline von 0 bis 3 integriert (durch abschnittsweise Integration) dann erhält man :
1.240174
Den Rest kannst du auf der oben genannten Webseite nachschauen.
Wie du sehen kannst ist der natürliche kubische Spline schlechter als der, wenn man an den Endpunkten die Werte für die zweite Ableitung der Originalfunktion einsetzt.
