Partialbruchzerlegung und Integration von f(x) = (x^3 + 1)/(x^3 - 2x^2 + x) . P62

Question

Hi

Ich bräuchte unbedingt mit lösungsweg zsm die Lösung.

Ich schaffe diese aufgabe nicht.

Vielen Dank

Immai

Ps: Lu sry wirklich, mein pc wird bestellt und dann kann ich abtippen :)

Comments

Muss ich für die 2)

A b c und d haben?

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Ich komme leider nicht weiter

Kann mir das bitte jemand vorrechnen?

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(x^{7}+1253x^{5}+pi×x+e)/(x^{8}+x^{6})

Wie kann ich die intergration durchführen?

Answer 1

Hallo Immai,

der Zählergrad muss kleiner als der Nennergrad sein, also zuerst Polynomdivision:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

(x³ + 1) / (x³ - 2x² + x)  =   1 +  (2x² - x + 1) / (x³-2x²+x)      (später beim ∫ nicht vergessen!) 

 mit  (2x² - x + 1) / (x³-2x²+x)  kannst du jetzt PZ machen:  

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

Kopie aus der dortigen Lösung:

—————————————

Das Nennerpolynom wird in lineare und quadratische Faktoren faktorisiert:

2x² - x + 1
—————————————
x(x - 1)²

Aus den Faktoren des Nenners ergeben sich die Nenner der einzelnen Ansatzbrüche. Faktoren, die mehrfach auftreten, werden in allen Potenzen bis zur vorliegenden angesetzt. Die jeweiligen Zähler werden bei linearen Nennern konstant und bei quadratischen Nennern linear angesetzt — unabhängig von etwaigen Potenzen:

A ——— x

+

B ——————— x - 1

+

C —————————— (x - 1)2

Nun werden die Summanden durch Erweitern auf den (bekannten) Hauptnenner gebracht:

A(x²-2x+1) + B(x²-x) + Cx
———————————————————————————————
x³ - 2x² + x

Es wird ausmultipliziert und nach Potenzen von x sortiert:

(A + B)x² + (-2A - B + C)x + A
———————————————————————————————————
x³ - 2x² + x

Durch Koeffizientenvergleich zwischen dem Zähler mit den angesetzten Unbekannten und dem ursprünglichen Zähler-Polynom ergeben sich folgende Gleichungen:

Potenz von x		Ansatz mit den unbekannten Koeffizienten		gegebenes Zähler- polynom
x2:	A + B	=	2
x1:	- 2A - B + C	=	-1
x0:	A	=	1

Dieses Gleichungssystem hat folgende Lösungen:

A = 1
B = 1
C = 2

Damit ergibt sich folgende Partialbruchzerlegung:

2x2 - x + 1 —————————————— x3 - 2x2 + x

=

1 ——— x

+

1 ——————— x - 1

+

2 —————————— (x - 1)2

--------------------------------------------------       Ende der Kopie 

 ∫  ( 1 + 1/x + 1 / (x-1) + 2 / (x-1)² ) dx   = x + ln(|x)) + ln(|x-1|)  - 2 / (x-1)  +  c

Vorn die 1 im ∫  hatte man vor der PZ herausdividiert (vgl. oben) 

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen

Hast mich gerettet :)

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immer wieder gern :-)

Die Links kannst du auch für andere Fälle gebrauchen!

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Hatte ich vor :)

Answer 2

1)    A/x  + B/(x+1) = 1 / ( x*(x+1) )

Comments

Ist das schon die lösung?

Kannst du bitte auch die anderen aufgabenstellungen lösen?

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Bei 3 erst Mal (2x+2) / ( x² +2x +5 ) abziehen, weil das ja durch Substitution

zu integrieren ist, dann bleibt

-2 / ( x² +2x +5 )

=-2 / ( x² +2x +1 +5 )

=-2 / ( ( x+1)² +4 ) )

=-2  *   1 / ( 4*   ( x+1)/2)² +1 )  )

= -1/2 *   1 / (  ( x+1)/2)² +1 )  )

Und das hat  - arctan (  ( x+1)/2 ) als eine Stammfunktion.

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Ich muss die 3 noch mit den

A und B verteilen oder?

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b) ist das richtig?

ln(|x|)+x- (2)/(x+1)+ln(|x−1|)

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ungefähr, ich habe das ein Minus :

ln(|x|)+x- (2)/(x-1)+ln(|x−1|)

Denn die Zerlegung des Nenners ist doch

x * (x-1)²

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Danke

Könntesr du mir bitte noch den rest zeigen.

In 2 stunden müsste ich abgeben?