Hoffe das ist so jetzt alles richtig. Ich weiß nur nicht wie man auf auf t= -2/3 kommt.. Verdoppelt man dann einfach die -1/3 oder?..
Hier jetzt mal mein kompletter Lösungsweg Für \( (1,0,0) \)folgt das Lot:
\( (1,0,0)+t(1,1,1) = 1+t+t+t = \frac { -1}{ 3 }\)
Dementsprechend folgt die erste Spalte mit:
\(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}-\frac { 1 }{ 3 }\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac { 2 }{ 3 }\\\frac { -1 }{ 3 }\\\frac { -1 }{ 3}\end{pmatrix}\)
$$\\ $$Dementsprechend folgt für die zweite und dritte Spalte jeweils:
\(\begin{pmatrix} \frac { -1 }{ 3 }\\\frac { 2 }{ 3 }\\\frac { -1 }{ 3}\end{pmatrix} und\begin{pmatrix} \frac { -1 }{ 3 }\\\frac { -1 }{ 3 }\\\frac { 2 }{ 3}\end{pmatrix} \).
Die darzustellende Matrix der orthogonalen Projektion lautet also: $$P_U=\frac { 1 }{ 3 }\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}$$
Kommen wir nun zur Spiegelung:
Ich weiß leider nicht wie du auf t= \( \frac { -2 }{ 3}\)gekommen bist..
Die erste Spalte habe ich berechnet mit:
\(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}-\frac { 2 }{ 3 }\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }\\\frac { -2 }{ 3 }\\\frac { -2 }{ 3}\end{pmatrix}\)...
Dann folgen die zwei weiteren Vektoren mit: \(\begin{pmatrix} \frac { -2 }{ 3 }\\\frac { 1 }{ 3 }\\\frac { -2 }{ 3}\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} \frac { -2 }{ 3 }\\\frac { -2 }{ 3 }\\\frac { 1 }{ 3}\end{pmatrix}\).
Die darzustellende Matrix der Spiegelung lautet also: $$ S_U= \frac { 1 }{ 3 }\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\-2 &-2 & 1 \end{pmatrix}$$
