Stochastik: Wahrscheinlich für mind. einen Übertrag bei Addition zweier dreistelliger Zahlen.

Question

Wenn man zwei Zahlen mit drei Stellen miteinander plus nimmt, wie wahrscheinlich ist es, dass es dabei mindestens einen Additionsübertrag gibt?

Answer 1

Das es bei der Zehner und Einerstelle keinen Übertrag gibt ist 55/100 (Hier sind Ziffern 0-9 möglich).

00-09, 10-18, 20-27, 30-36, ..., 90

Das es bei den 100ern keinen Übertrag gibt ist 36/81 (Hier sind nur Ziffern 1-9 möglich)

11-18, 21-27, 31-36, 41-45, 51-54, 61-63, 71-72, 81

Also ist die Wahrscheinlichkeit keinen Übertrag zu haben

55/100 * 55/100 * 36/81 = 121/900 = 13.44%

Demzufolge ist die Wahrscheinlichkeit mind. einen Übertrag zu haben

1 - 121/900 = 86.56%

Comments

Der gleiche ommentar wie bei Brucybabe:

Im Umkehrschluss wäre die Wahrscheinlichkeit FÜR einen Übertrag:

45/100*45/100*45/81= 9/80=11,25 Das kann abe nicht stimmen (bei dir kommt ja 86,56 raus. Was ist da falsch, wo ist mein fehler??

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Erstmal ist das etwas ungeschickt mit der Wahrscheinlichkeit eines übertrages zu rechnen. Weil ein Übertrag die Wahrscheinlichkeit in der Nächsten Stelle auch verändert. Also habe ich einen Übertrag bei den Einern verändert das sicher die Wahrscheinlichkeit des Übertrages bei den Zehnern.

Weiterhin rechnest du die Wahrscheinlichkeit aus, das du genau 3 Überträge hast. Das ist was komplett anderes als mind. ein Übertrag. Mind. einer heißt eben einer, zwei oder auch drei.

Und wie gesagt kannst du wie du gerechnet hast eben leider nicht rechnen. Weil wenn wir bei den Einern einen Übertrag haben verändert es die Wahrscheinlichkeit bei den Zehnern.

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ok, vielen dank, das war mir nicht klar!

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@ Mathecoach:
Genau diese "Wahrscheinlichkeitsveränderung" (Übertrag bei Einern -> Übertrag bei Zehnern) fiel mir auch gerade ein, als ich den Rechner kurz verlassen hatte. Du hast es wieder einmal prima erklärt!

Answer 2

Eine sehr interessante Frage!

Ich würde dies mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit berechnen: Wie wahrscheinlich ist es, dass es keinen Additionsübertrag gibt?

Es gibt 100 Konstellationen für die 2. und für die 3. Stelle:

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Für die 1. Stelle gibt es, wenn beide Zahlen dreistellig sind, nur 9 * 9 = 81 Konstellationen

11 12 13 14 15 16 17 18 19

21 22 23 24 25 26 27 28 29

31 32 33 34 35 36 37 38 39

41 42 43 44 45 46 47 48 49

51 52 53 54 55 56 57 58 58

61 62 63 64 65 66 67 68 69

71 72 73 74 75 76 77 78 79

81 82 83 84 85 86 87 88 89

91 92 93 94 95 96 97 98 99

Die fett gekennzeichneten Paare ergeben jeweils keinen Übertrag!

Also ist die Wahrscheinlichkeit für keinen Übertrag an 

Stelle 1: 36/81

Stelle 2: 55/100

Stelle 3: 55/100

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, in der dreistelligen Zahl keinen Übertrag zu haben: 

36/81 * 55/100 * 55/100 = 108.900 / 810.000 ≈ 0,134 = 13,4%

Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, in einer dreistelligen Zahl mindestens einen Übertrag zu haben, ca.

100% - 13,4% = 86,6%

Comments

Wenn ich die Wahrscheinlichkeit jetzt aber für einen Übertrag ausrechne (nicht für KEINEN Übertrag), würde das ja bedeuten:

Stelle 1: 45/81

Stelle 2: 45/100

Stelle 3: 45/100

Das multipliziert ergäbe 9/80, also 11,25%. Das kann doch nicht stimmen! Wo ist mein Fehler?

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Wenn Du das so rechnest, berechnest Du die Wahrscheinlichkeit für einen Übertrag an Stelle 1 und einen Übertrag an Stelle 2 und einen Übertrag an Stelle 3. 

Du hast jetzt also die Wahrscheinlichkeit für 3 Überträge berechnet, wobei Du nicht berücksichtigt hast, dass bei einem Übertrag an Stelle 3 sich auch die Wahrscheinlichkeit für einen Übertrag an Stelle 2 verändert usw. (siehe obigen Kommentar)!

 

Wenn Du es anders - aber trotzdem korrekt - berechnen willst als der Mathecoach und ich, dann müsstest Du rechnen:

Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Übertrag =

W. für einen Übertrag an Stelle 1 und keinen an den Stellen 2 und 3 +

W. für einen Übertrag an Stelle 2 und keinen an den Stellen 1 und 3 +

W. für einen Übertrag an Stelle 3 und keinen an den Stellen 1 und 3 +

W. für 2 Überträge an den Stellen 1 und 2 und keinen an Stelle 3 +

W. für 2 Überträge an den Stellen 1 und 3 und keinen an Stelle 2 +

W. für 2 Überträge an den Stellen 2 und 3 und keinen an Stelle 1 +

W. für 3 Überträge ; hast Du ja schon (allerdings nicht ganz korrekt - siehe Kommentar vom Mathecoach) berechnet: 11,25% :-)

 

Ist ein wenig aufwändiger, nicht wahr?

Deshalb rechnet man bei "mindestes ein"-Aufgaben praktisch immer mit der Gegenwahrscheinlichkeit.