Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit Wendepunkt W(-2/6)

Question

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W(-2/6), die an der Stelle x=-4 ein Maximum hat. Die Steigung der Wendetangente ist gleich -12.

Answer 1

Ich schreib dir mal die Gleichungen hin, die in den einzelnen Teilen der Aufgabe gelesen werden können.

Es entstehen 4 Gleichungen mit den 4 Unbekannten a, b, c und d. 

Sollten am Schluss mehrere Lösungen dastehen, musst du noch die zum Hochpunkt gehörende Ungleichung

f ''' (-4) < 0 in die Rechnung einbeziehen. 

Zudem kannst du eigentlich sicher sein, dass a>0 ist, weil der Hochpunkt links vom Wendepunkt liegt und ganzrationale Funktionen 3. Grades symmetrisch sind bez. Wendepunkt.

Also jetzt der Anfang:

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades

f (x) = a x³ + bx² + cx +d

mit dem Wendepunkt W(-2/6),

f ' ' (-2) = 0 und

f (-2) = 6

die an der Stelle x=-4 ein Maximum hat.

f ' (-4) = 0

Die Steigung der Wendetangente ist gleich -12.

f '(-2) = -12

Versuch mal alles schön einzusetzen und durchzurechnen. 

Comments

Ich weiß, dass der Thread schon ein Jahr alt ist aber würde mich wirklich sehr freuen, falls mir doch noch jemand antworten würde

Hab eine Frage zu der Aufgabe kann mir jemand erklären warum man sich sicher sein kann, dass a>0 ist? hab bei meiner Lösung ein anderes Ergebnis raus: f(x)=-0,1x³+0,3x²-12x-17,6

Hier meine Rechenwege:

f  (x)=ax³+bx²+cx+d

f ' (x)=3ax²+2bx+c

f ' ' (x)= 6ax + 2b

 

f ' ' (-2) = 0         -------->  I.          0 = -12a - 4b

f '  (-4) = 0          -------->  II.         0 = -144a - 8b + c

f '  (-2) = -12      → III.   -12 = -12a - 4b + c

f    (-2) = 0         → IV.       6 = -8a - 4b - 2c + d

 

II - III   =       12 = -132a - 4b

II '  -  I  =       12 = -120a          -> a = -0,1

 

Dann a in die I einsetzen =  0 =  1,2 - 4b | - 1,2
                                              -1,2 =          -4b | : (-4)
                                              -0,3 =  b
 

Dann in II a und b einsetzen um c herauszufinden -- >   0 = -12+c | +12
                                                                                                  12 = c

 

Dann a, b und c in IV einsetzen um d herauszufinden ->  6 = 23,6 + d  | -23,6
                                                                                                 17,6 = d

 

f(x)=-0,1x³+0,3x²-12x-17,6     <- Komme auf diese Funktion

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Zitat aus meiner Antwort:

Zudem kannst du eigentlich sicher sein, dass a>0 ist, weil der Hochpunkt links vom Wendepunkt liegt und ganzrationale Funktionen 3. Grades symmetrisch sind bez. Wendepunkt.

Du hast dich daher schon vor a irgendwo verrechnet.

 

f  (x)=ax³+bx²+cx+d

f ' (x)=3ax²+2bx+c

f ' ' (x)= 6ax + 2b

Beachte die Vorzeichen: (-2)² = + 4 z.B.

f ' ' (-2) = 0         -------->  I.          0 = -12a +2b

f '  (-4) = 0          -------->  II.         0 = 48a - 8b + c

f '  (-2) = -12      → III.   -12 = 12a - 4b + c

f    (-2) = 0         → IV.       6 = -8a + 4b - 2c + d

Deine Funktion hat kein Maximum bei x = -4: Vgl. hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D-0.1x³%2B0.3x²-12x-…

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Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Vorzeichen hab ich leider übersehen und verstehe grad nicht warum ich nicht erst quadriert habe Oh man

Hab eine kurze Frage hierzu:

f ' ' (x)= 6ax + 2b

f ' ' (-2) = 0         →  I.          0 = -12a - 4b

Mein Ergebnis müsste doch eigentlich falsch sein oder? Denn eingesetzt ist es ja

6a * -2 + 2b   →  -12a + 2b

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6a * -2 + 2b   →  -12a + 2b

Richtig. Das hatte ich übersehen. Ich mach das oben in meinem Kommentar auch noch richtig.

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Danke nochmal für die Antwort würde mich noch freuen wenn du mein Ergebnis prüfen würdest ich habs versucht es so zu gestalten das du einen einfachen Überblick hast

f  (x)=ax³+bx²+cx+d

f ' (x)=3ax²+2bx+c

f ' ' (x)= 6ax + 2b
_________________________________________
 

f ' ' (-2) = 0         ---->  [ I ]           0 = -12a +2b

f '  (-4) = 0          --->  [ II ]          0 = 48a - 8b + c

f '  (-2) = -12      → [ III ]      -12 = 12a - 4b + c

f    (-2) = 0         -----> [ IV ]        6 = -8a + 4b - 2c + d
____________________________________________________

             1. Rechnung ->      [ II ]  -  3x [ I ] ergibt 0 = c
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Also die C rausnehmen :

[ I ]           0 = -12a +2b

[ II ]          0 = 48a - 8b

[ III ]      -12 = 12a - 4b

[ IV ]        6 = -8a + 4b + d

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2. Rechnung:  4x [ III ] - [ II]  =           -36 = -16b  
                                                            2,25 = b
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3. Rechnung: b in [ I ] einsetzen =               0 = -12a + 4,5
                                                                  0,375 = a
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4. Rechnung: a und b in IV einsetzen =            6 = -3 + 9 + d
                                                                                  0 = d

 

Die Funktion wäre dann: 0,375x³ + 2,25x²
 

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Konnte irgendwie meine Antwort nicht bearbeiten, bei der ersten Rechnung müsste:
[ II ] + 4x [ I ] stehen dann ergibt c = 0

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Tut mir Leid wollte es übersichtlich darstellen doch jetzt ist es chaotisch geworden leider ist wohl alles falsch da oben:                                   c = 0

2. Rechnung: [ I ] + [ III ]         ->  -12= -2b     -   > b = 6

3. Rechnung: b in [ I ] einsetzen =      0 = -12a +12      ->  a = 1

4. Rechnung a und b in IV einsetzen =     6 =  -8 + 24 + d     ->  d = -10

 

Funktion : x³ + 6x² - 10

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Super. Das sieht jetzt auf den ersten Blick ganz gut aus. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x³+%2B+6x²+-+10

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Hallo, bin schon vielleicht zu spät, aber wüsste jemand wie [ II ] + 4x [ I ] berechnet wird? Habe alles verstanden außer wie man auf c kommt

Answer 2

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W$(-2|6)$, die an der Stelle $x=-4$ ein Maximum hat. Die Steigung der Wendetangente ist $m=-12$.

an der Stelle $x=-4$ ein Maximum→   doppelte Nullstelle:

$f(x)=a[(x+4)^2(x-N)]$

$f'(x)=a[(2x+8)(x-N)+(x+4)^2 \cdot1 ]$

$f''(x)=a[(2x-2N)+(2x+8) \cdot1+(2x+8) ]$

Wendepunkt W$(-2|...)$:

$f''(2)=a[(4-2N)+(4+8)+(4+8) ]=a[(4-2N)+24 ]$

$a[-2N+28 ]=0$

$N=14$:

$f(x)=a[(x+4)^2(x-14)]$

$f'(x)=a[(2x+8)(x-14)+(x+4)^2 ]$

Steigung der Wendetangente ist $m=-12$:

$f'(-2)=a[(-4+8)(-2-14)+(-2+4)^2 ]=a[(-60) ]$

$a[(-60)=-12 ]$

$a=\frac{1}{5}$:

$f(x)=\frac{1}{5}(x+4)^2(x-14)$

W$(-2|6)$ in   $f(x)=\frac{1}{5}(x+4)^2(x-14)$ einsetzen:

?$6=\frac{1}{5}(-2+4)^2(-2-14)=-12,8$? Nein

Somit muss $f(x)=\frac{1}{5}(x+4)^2(x-14)$ um $6+|-12,8|$ Einheiten nach oben verschoben werden:

$p(x)=\frac{1}{5}(x+4)^2(x-14)+18,8$