Wieso funktionieren reziproke Funktionen?

Question

Das Problem wurde schonmal so ähnlich hier besprochen: https://www.mathelounge.de/1153/ist-kotanges-definiert-fur-90%C2%B0-also-pi-halbe 

Aber ich habe noch eine viel allgemeinere Frage dazu:

Ich habe eine Gleichung:

$$ y= \frac {1}{\frac {5}{x-3}} = 1\cdot\frac{x-3}{5} $$

Wenn ich  3 für x einsetze, bekomme ich in der linken Gleichung einen undefinierten Wert und in der rechten ein Ergebnis.

Wenn ich die LINKE Gleichung in egal welchen graphischen Taschenrechner eingebe, bekomme ich eine Grade für die auch der Wert x=3 definiert ist.

Wieso funktioniert das ? Wieso kann ich in eine umgeformte Gleichung einen Wert einsetzen, während der Wert in der "nicht umgeformten" einen undefinierten Wert annimmt? Wenn doch

$$ y= \frac {1}{\frac {5}{3-3}} = 1 : \frac{5}{0} = undef. $$

Die graphischen Taschenrechner können mit

$$ y= \frac {1}{\frac {5}{x-3}}  $$

ja anscheinend auch etwas anfangen.

Gilt hier sowas wie "Kehrwertmultiplikation geht vor Division" ? Forme ich hier grob falsch um oder ist es einfach eine definition dass

$$ y= \frac {1}{\frac {5}{3-3}} = 1 : \frac{5}{0} = definiert ,weil    \quad 1\cdot\frac{3-3}{5}=definiert$$ ?

Comments

Anmerkung: Ich habe eine Definition, aber keine Erklärung in der Literatur gefunden:

(frei aus dem Englischen übersetzt):

" Wenn y=f(x)=0, dann ist 1/f(x)=undefiniert. Dort befindet sich eine Unstetigkeitsstelle oder eine Sprungstelle. Das bedeutet, dass wenn f(x) gegen 0 läuft, wird 1/f(x) sehr groß. Gleichbedeutend, wenn eine Diskontinuität im Graphen f(x) für einen Wert x vorhanden ist, dann ist an dieser Stelle 1/f(x)=0 "

Jetzt habe ich zwar eine Definition, die besagt, dass der Graph da tatsächlich 0 ist. Aber der Grund bzw. die Erklärung, wieso ich das darf ist mir noch nicht klar :(

Answer 1

Ob ein Funktionsterm an einer Stelle x stetig ergänzt werden kann, sieht man oft erst nach Umformung des Funktionsterms. Natürlich ist f(x)=1/(5/(x-3)) an der Stelle x= 3 nicht definiert aber dort stetig ergänzbar, wie seine Umformung zeigt. Definitionslücken die stetig ergänzbar sind, werden von elektonischen Werkzeugen stetig dargestellt. (Wie sollten diese Werkzeuge auch einen fehlenden Punkt darstellen?)

Comments

Das habe ich mir auch gedacht, dasselbe Problem tritt aber auch bei dem Graphen von cotan (x) auf. Wenn ich den cotan = 1/tan(x) setze, bekomme ich undefinierte Werte für alle tan (x) = undef. . Wenn ich cotan aber per  1*cos(x)/sin(x) definiere, habe ich keine Probleme. Und der Graph von Cotan hat definitiv einen Wert für z.b. x=Pi/2.

Was passiert an diesen "mysteriösen" Stellen?

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Mein CAS zeigt für cot(x), für 1/tan(x) und für cos(x)/sin(x) genau die gleichen Graphen mit Polstellen für alle x= kπ mit k∈ℤ. Ich kenne dein elektronisches Werkzeug nicht. Also kann ich deine Frage:  Was passiert an diesen "mysteriösen" Stellen? nicht beantworten.

Answer 2

das Gleichheitszeichen oben bei deiner Gleichung gilt nur für x≠3, denn der linke Term ist für x=3 nicht definiert. Das stellt allerdings kein Problem dar, denn bei x=3 hat die Funktion eine stetig behebbare Lücke.

Der Grenzwert lim x--->3 y(x) existiert (=0), daher kann man y(3):=0 festlegen.

Im übrigen können die meisten Funktion Splotter

keine Lücken einzeichnen, denn Lücken sind unendlich klein.

Um dir noch ein weiteres Beispiel zu geben:

Betrachte die noch einfachere Funktion

f(x)=y=1

Jetzt kann man aber auch 1=(x-1)/(x-1)

schreiben. Plötzlich hat die Funktion eine Lücke bei x=1. An dem Verlauf der Funktion ändert das aber nichts. Man könnte erneut f(1):=1 festlegen

Auf diesen Weg man unzählige behebbare Lücken in eine Funktion einbauen, es stört aber eigentlich nicht.