Wie berechne ich bei stetigen Verteilungen P(X<x) im Gegensatz zu P(X<=x).

Question

Hi,

angenommen ich habe eine N(mue,sigma^2) verteilte Zufallsvariable und ich möchte P(X<=x) berechnen. Das ist einfach, denn ich muß ja nur in der Normalverteilungstabelle unter Phi((x-mue)/sigma) nachsehen. So weit so einfach.

Nun Frage ich mich aber was die Wahrscheinlichkeit von P(X<x) ist. Muss ich von der oben berechneten Wahrscheinlichkeit f(x) [f ist die Dichte] abziehen oder existiert zwischen den beiden Wahrscheinlichkeiten kein Unterschied?

, ich bin gespannt.

Answer 1

P(X = k) ist in der Normalverteilung null

Daher gilt auch

P(X <= k) = P(X < k)

Die Wahrscheinlichkeiten sind also identisch.

Mach dir klar das die Wahrscheinlichkeiten die Flächen unter dem Graphen sind. Von k bis k wäre die Breite dieser Fläche allerdings Null und damit nicht existent.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort

Ich verstehe das Argument mit dem Integral aber wenn das so ist, dann verstehe ich nicht wieso es eine Dichtefuntktion gibt. Ich meine was bedeutet dann f(x)  = 1/(sigma * Wurzel (2 Pi))*e^-0,5* usw.

Naiv würde ich sagen, dass P(X<x) = F(x) -.f(x) [F Verteilfunktion; f Dichte] gilt. Aber das passt von den Zahlen nicht.

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Die Dichte wäre die Wahrscheinlichkeit wenn die Breite 1 wäre.

Aber wie gesagt in der Dichtefunktion sind die Wahrscheinlichkeiten Flächen unter dem Graphen.

Allgemein gilt

P(a <= X <= b) = F(b) - F(a)

Dabei ist bei den Ungleichheitszeichen egal ob dort ein kleiner oder kleinergleich steht.

Sind die Grenzen jetzt gleich folgt daraus das die WK null ist.

P(k <= X <= k) = F(k) - F(k) = 0

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OK, aber ich dachte immer, dass der Wert der Dichtefunktion tatsächlich der Wert einer Wahrscheinlichkeit unter der Normalverteilung (bzw. jeder anderen stetigen Verteilung) ist. Wenn dem jetzt nicht so ist, dann verstehe ich nicht wofür die Dichtefunktion überhaupt da ist. Kannst du mir das sagen?

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Du kannst die Dichtefunktion haben

f(x) = 1 für 0 <= x <= 1

f(x) = 0 für alle anderen Werte von x.

Nun bedeutet das ja nicht das x = 0.5 mit der Wahrscheinlichkeit von 1 angenommen wird. Denn das wäre ja für alle Werte im Intervall von 0 bis 1 der Fall. Nein. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich immer über eine Fläche. D.h. das die Zufallsvariable einen Wert von 0..5 bis 1 Annimmt ist dann

(1 - 0.5) * 1 = 0.5

Das würdest du doch auch erwarten oder?

Daher ist die Fläche unter dem Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichte ja insgesamt 1. Eben weil die gesamte Fläche genau die 100% abbilden.

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OK, vielen Dank.
Ich dachte, dass ich mit der Dichte direkt Eintelwahrscheinlichkeiten ausrechnen kann.

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Nicht bei stetigen Verteilungen. Das geht höchstens bei diskreten Verteilungen wie der Binomialverteilung.

Da ergeben alle Diskreten Wahrscheinlichkeiten zusammen 1.