Warum ist die Dimension dieses Kerns gleich 3?

Question

Hallo . Ich muss den kern dieser Matrix bestimmen und bekomme ,das er 2 dimensional ist.

mit <(1,0,0,0,1)T,(0,1,0,1,0)T>

Kann jemand mir die Lösung zeigen?

Answer 1

Wenn du die letzte Zeile durch

erste + letzte Zeile  ersetzt und die

vorletzte durch vorletzte + zweite .

Hast du eine Matrix mit 3 Nullzeilen

(denn die mittlere ist eh nur aus 0en),

also dim = 3.

Comments

Freiheitsgrad ist = die Anzahl der Nullzeilen ? und das ist auch dim(ker(A)) ? Und wie kann ich die Basisvektoren konstruieren ?

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Genau. Hier ergab sich ja :

-2    0     0       0      2
0    -2     0        2      0
0     0      0      0       0 
0     0      0      0       0 
0     0      0      0       0

Also kann man ( etwa von unten nach oben )

sagen  :          x5 , x4 , x3 beliebig.

Das wird gern auch durch  neue Variablen als

Parameter ausgedrückt etwa so

    x5=r     x4=s     x3=t

und dann in die ersten beiden Gleichungen

einsetzen gibt

-2x1 + 2r = 0 also   x1 = r

und  -2x2 + 2s=0 also x2=s .

Damit ist jeder Vektor des Lösungsraumes von der Form

( r  ;   s  ;  t  ;    s ;   r )   bzw

r*(1;0;0;0;1) + s*(0;1;0;1;0) + t*(0;0,1;0;0) und damit

sind  (1;0;0;0;1)   , (0;1;0;1;0)    ,  (0;0,1;0;0)

drei mögliche Basisvektoren.

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Also kann man ( etwa von unten nach oben )

sagen  :          x5 , x4 , x3 beliebig.

Wie siehst du das ?

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Wenn du 5 Variablen hast und zwei Gleichungen,

dann kannst du die letzten 3 frei wählen.