Eigenschaft von zwei ähnlichen Matrizen mit A' = S^{-1}AS

Question

Ich habe die folgende Definition :

Definition 5.2.1 (a) Zwei Matrizen A, A' aus K^nxn heißen ähnlich, wenn es

eine invertierbare Matrix S aus K^{nxn} gibt mit A' =  S^{-1}AS.

Also wenn ich eine Aufgabe habe, wobei es gesagt wird, dass A , B ähnlich sind.

Das bedeutet, dass

A = S^{-1}BS

und B = S^{-1}AS .

Ist das richtig ?

Answer 1

Das bedeutet ,dass    es ein S gibt mit

A = S^-1BS

und   es gibt ein S mit  B = S^-1AS .Ist das richtig ? Ja!

Answer 2

> dass A , B ähnlich sind.Das bedeutet ,dass  A = S^-1BS und B = S^-1AS

Woher kommt denn auf ein mal das S? In der Aufgabenstellung steht nur etwas von A und B. Und auch in der Definition von Ähnlichkeit ist nicht festgelegt, was S ist.

> wobei es gesagt wird,dass A , B ähnlich sind

Das heißt dann, dass es eine invertierbare Matrix S gibt, so das

        B = S^-1·A·S

ist. Durch Linksmultiplikation dieser Gleichung mit (S^-1)^-1 und Rechsmultiplikation mit S^-1 bekommt man dann

        (S^-1)^-1·B·S^-1 = (S^-1)^-1·S^-1·A·S·S^-1 = A

also

        M^-1·B·M = A

mit M = S^-1. Wenn A, B ählich sind, dann sind also auch B, A ähnlich. Die Matrix, die verwendet wird, um A aus B zu bekommen, muss aber nicht die gleiche Matrix sein, mit der man B aus A bekommt.