Mit arctan bei kartesische Form -> Polarform rechnen?

Question

Ich verstehe bei der Umwandlung von

z = -1 + -1i

nicht richtig, wie man es richtig in Polarform umsetzt.

Betrag ist logischerweise 1, da beides 1 ist.

das heißt z = 1 * irgendwas

irgendwas ist ja e^{ arctan( Im(z) / Re(z) ) } 

Weil man aber schon im Kopf weiß, dass es auf der Gaußschen Zahlenebene ein diagonaler Pfeil nach unten links ist, weiß man dass hier e^{i * 5pi/4} oder e^{i * - 3pi/4} rauskommen muss. Wenn man nun aber rein von arctan ausgeht, kommt hierbei arctan(-1/-1) = arctan(1) = 45° raus, was falsch ist.

Was muss ich denn genau beachten und wieso funktioniert dieses arctan hier nicht? Gibt es bessere oder einfachere Wege?

Answer 1

In der Gaußschen Zahlenebene  liegt  z  im 3. Quadranten. (Bereich 180° bis 270°)

Das bedeutet, π/4 +π =5/4 *π

tan(α)= -1/-1= 1

α=π/4 +π =5/4 *π (225°)

PS:der Betrag stimmt nicht, der ist √((-1)^2 +(-1)^2)=√2

Answer 2

Hallo HJ,

z = x + y·i  =  -1 - i

Für den Betrag r und den Winkel φ hat man

r = √( x² + y²)  =  √( (-1)² + (-1)² )  =  √2

φ =  - arccos(x/r)  wenn y<0     [  arccos(x/r) wenn y≥0 ]         #

    =  - arccos(-1/√2)  = - 3/4 π       [ 5/4 π ]

-----

#

>  wieso funktioniert dieses arctan hier nicht?

          Bei der Berechnung von φ mit dem tan hast du Fallunterscheidungen für die 

          vier verschiedenen Quadranten:

          https://www.math.uni-bielefeld.de/~mmoll/data/polar.pdf              (2.Seite oben)

> Gibts bessere oder einfachere Wege?

 Bei der Berechnung von φ  mit dem arccos  kann man sich diese etwas leichter merken:  

                - arccos  für negative Imaginärteile (hier y = -1)  ,  + arccos sonst

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Von_der_algebraischen_Form_in_die_Polarform

 Gruß Wolfgang

Answer 3

Hallo hj2388! :-)

[...] wieso funktioniert dieses arctan hier nicht?

Weil der Tangens im ersten und auch im dritten Quadranten positiv ist. Das kannst Du Dir am Einheitskreis überlegen/angucken. Der Taschenrechner merkt das nicht, für den ist arctan(1/1) dasselbe wie arctan(-1/-1).

Was muss ich denn genau beachten [...]

Im Grunde hast Du doch beachtet, was es zu beachten gibt.

Gibts bessere oder einfachere Wege?

Ich kenne keine.
Es gibt Formeln zur Berechnung des Winkels in Abhängigkeit vom Quadranten, in dem sich der Bildpunkt der komplexen Zahl x + iy befindet.

Quadrant 1: φ = arctan(y/x)
Quadrant 2 und 3: φ = arctan(y/x) + π
Quadrant 4: φ = arctan (y/x) + 2π

Ich würde es aber lieber so machen, wie Du, mir überlegen wo die Zahl in der Ebene liegt und mir dann den Winkel zusammenbasteln.

Beste Grüße
gorgar

Answer 4

z=-1-i

|z|=√2

z=√2(-1/√2-1/√2 i)=r*(cos(φ)+i*sin(φ))

cos(φ)=-1/√2

sin(φ)=-1/√2

Löse dieses Gleichungssystem für φ∈[0,2π]

Dann musst du dir gar keine Gedanken über irgendwelche Spezialfälle machen.