Potenzreihe Konvergenzradius x^n/(1+x^2n)

Question

komme in der Klausurvorbereitung mit einer Aufgabe nicht weiter. Es geht um Potenzreihen und in diesem ersten Schritt explizit um den Konvergenzradius.

Hab einiges umgeformt. So weit bin ich:

$$ \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{1+x^{2n}} = \sum \limits_{n=0}^\infty x^{n} \cdot \frac{1}{1+(x^{2})^{n}} $$

Jetzt müsste ich doch auch im Nenner $$ x^{2} $$ bzw. $$ (x^{2})^{n} $$ wegbekommen und dann Quot.-Formel für Potenzreihen benutzen. Leider schaffe ich es nicht.

Ich meine aber auch, dass eine alternative gewesen war, dass man eine Majorante findet und es dadurch findet.

Ideen?

Comments

Das ist keine Potenzreihe, sondern eine Funktionenreihe. Wo die konvergiert kann man trotzdem fragen, aber Konvergenzradius ist nicht angesagt. Majorantenkriterium schon.

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ok danke. Ich versuche mich mal dann so dran und melde mich hier nochmal sobald ich was habe. :+1:

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Vom Duplikat:

Titel: konvergenzradius der Reihe x^n/(1+x^{2n}) bestimmen

Stichworte: reihe,konvergenzradius,konvergenz,potenzreihe,analysis

hat jemand vielleicht eine Idee wie man den Konvergenzradius der Reihe ausrechnet? Ich kenne die beiden Formeln zur Berechnung, doch weiß nicht wie ich die x^{2n} aus dem Nenner rauskriege. Danke schon mal für jede Hilfe!

Answer 1

Die geometrische Reihe ∑_i=0..∞ 1/xⁱ ist eine Majorante. Diese konvergiert für |1/x| < 1, also |x| > 1.

Für x = 0 ist jedes Folgeglied 0, also liegt Konvergenz vor.

Für x = 1 liegt offensichtlich keine Konvergenz vor.

Für x = -1 wechseln die Partialsummen zwischen 1/2 und -1/2, also liegt keine Konvergenz vor.

Für x ∈ (-1, 0) handelt es sich um eine alternierende Reihe mit monoton fallenden Beträgen der Summanden. Also konvergiert die Reihe nach Leibniz-Kriterium.

Es bleibt noch der Fall x ∈ (0, 1) zu untersuchen.

Übrigens, wie Fakename schon gesagt hat, ist es sinnlos, von einem Konvergenzradius zu sprechen. Die Idee des Konvergenzradiuses ist, dass bezüglich eines Bezugspunktes x₀ der Konvergenzradius r besagt, dass die Reihe für alle x mit |x-x₀| < r konvergiert und für alle |x-x₀| > r divergiert. Bei der vorliegenden Reihe ist erstens nicht klar, was der Bezugspunkt x₀ sein soll. Und auch wenn ein solcher vorliegen würde, dann könnte r nicht angegeben werden, weil zweitens der Bereich, in dem die Folge konvergiert, kein Intervall ist.