Urbild lineare Abbildung Matrix

Question

Aufgabe

Gegeben sei die Matrix

$$ A=\left(\begin{array}{rrr} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {-1} & {0} \\ {1} & {3} & {-1} \end{array}\right) $$
a) Berechnen Sie die zu A  inverse Matrix \( A^{-1} \).
b) Gegeben sei die lineare Abbildung
$$ L: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad\left(\begin{array}{l} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \\ {3} \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} {0} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {-1} \end{array}\right) $$
sowie der Vektor
$$ v=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie das Urbild \( L^{-1} v \) 

Zu der b hätte ich eine Frage. Und zwar wie funktioniert die? Man sieht ja das L eigentlich die Matrix A ist, wäre dann L^-1 das Inverse von A. Müsste ich also das Imverse von A mal v nehmen?

Answer 1

Ja genau

[1, 2, 1; 0, -1, 0; 1, 3, -1]^{-1} = [0.5, 2.5, 0.5; 0, -1, 0; 0.5, -0.5, -0.5]

[0.5, 2.5, 0.5; 0, -1, 0; 0.5, -0.5, -0.5] * [1; 1; 0] = [3; -1; 0]

Answer 2

Hallo likeeeeeee22,

richtig, genau so musst Du das rechnen (auch wenn das fast zu einfach klingt; für \(2\) Punkte ist die Aufgabe aber gut geeignet). Als Ergebnis erhalte ich: $$\left(\begin{matrix}3\\-1\\0\end{matrix}\right)$$

André