Extremalproblem: Drehzylinder in Pyramide einbeschrieben, nur Variablen

Question

ich habe schon andere Extremalprobleme gelöst, hier stosse ich aber irgendwie an die Grenzen, da es nur Variablen in folgender Aufgabenstellung gibt:

Auf der Grundfläche einer quadratischen Pyramide mit Quadratseite a und Höhe h steht ein Drehzylinder; dieser ist der Pyramide einbeschrieben.

Wie gross muss der Radius dieses Zylinders sein, damit sein Volumen maximal wird?

Answer 1

oben siehst Du einen Querschnitt durch die Pyramide und den eingeschriebenen Zylinder. Der Zylinder steht unmittelbar an den Seitenflächen der Pyramide an. Sein Volumen ist bekanntermaßen

$$V=R^2\pi H$$

Dadurch, dass er in der Pyramide ansteht, ergibt sich aus dem Strahlensatz die Bedingung

$$\frac{h-H}{R} = \frac{2h}{a} \quad \Rightarrow \space H=h-\frac{2h}{a}R$$

In die Gleichung für das Volumen einsetzt und nach \(R\) ableiten

$$V=R^2\pi \left( h-\frac{2h}{a}R \right)=R^2\pi h - R^3\pi \frac{2h}{a}$$

$$\frac{dV}{dR}=2R\pi h - 3R^2\pi \frac{2h}{a} = 0$$

$$\Rightarrow R = \frac{1}{3}a$$

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

Danke für die Antwort, die Strahlensätze habe ich wohl ausser Acht gelassen, deshalb bin ich nicht mehr weitergekommen. Jetzt ist es mir dank euren beiden Antworten klar

Answer 2

> da es nur Variablen in folgender Aufgabenstellung gibt

Variablen sind Platzhalter für Zahlen. Sie richten sich also nach den gleichen Rechengesetzen wie Zahlen.

> Auf der Grundfläche einer quadratischen Pyramide mit Quadratseite a und Höhe h steht ein Drehzylinder;

Sind h_z und d_z Höhe bzw. Durchmesser des Zylinders, dann gilt nach Strahlensatz

(1)        (h-h_z)/h = d_z/a

indem man die Mittelpunkte M₁ und M₂ zweier gegenüberligenden Seiten der Grundfläche der Pyramide markiert und die Schnittfläche durch M₁, M₂ und Spitze der Pyramide betrachtet.

Für das Volumen des Zylinders gilt

(2)        V(d_z, h_z) = π·(d_z/2)²·h_z.

Gleichung (1) nach h_z auflösen, in (2) einsetzen, maximieren und aus dem Durchmesser den Radius bestimmen.

Das ergibt eine Radius von 1/3 a.

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Vielen Dank für die Antwort, die Strahlensätze habe ich ausser Acht gelassen. Jetzt ist es mir durch eure beiden Antworten klar geworden, danke!