Vektorgeometrie in der Ebene: Mittelpunkt klar. Wie gehe ich bei anderen Verhältnissen vor?

Question

Mittelpunkt bestimme ich so, hier wird ja die Strecke BC im Verhältnis 1:2 geteilt.

Gilt die Linearkombination auch für andere Verhältnisse? zum Beispiel wie 3:2?

Comments

Es sind 5 teile, davon 2 von 5 zu B und 3 von 5 zu C deswegen stimmt wohl 3/2 nicht hab ich gemerkt!  :-(

Answer 1

Hallo limonade,

Du schreibst: "\(r_E = \frac{3}{2}(r_B + r_C)\)".

falls der Punkt \(E\) auf der Geraden durch \(B\) und \(C\) liegen soll, so ist das immer(!) falsch! Liegt \(E\) auf der Geraden so gilt bei einer linearen Gleichung wie

$$r_E= a \cdot r_B + a \cdot r_C$$

dass immer \(a+b=1\) sein muss. Deshalb kann man allgemein auch schreiben:

$$r_E= (1-t) \cdot r_B + t \cdot r_C$$

\(t\) ist eine Variable, die den Punkt \(E\) von \(B\) (für \(t=0\)) bis nach \(C\) (für \(t=1\)) verschiebt. In Deinem Fall wird der Punkt um 2 von 5 Teilen von \(B\) Richtung \(C\) geschoben. Also ist \(t=\frac{2}{5}\) - Einsetzen ergibt:

$$r_E= \left(1-\frac{2}{5}\right) \cdot r_B + \frac{2}{5} \cdot r_C = \frac{3}{5} \cdot r_B + \frac{2}{5} \cdot r_C$$

Einsetzen der Werte von oben ergibt

$$r_E= \frac{3}{5} \cdot \begin{pmatrix} 7\\ 0 \end{pmatrix} + \frac{2}{5}  \cdot \begin{pmatrix}3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5,4\\ 1,6 \end{pmatrix}$$

Allgemein kann man auch sagen, das bei einem Verhältnis von \(X\) zu \(Y\) zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\) der resultierende Punkt \(r_P\) bei

$$r_P= \frac{1}{X+Y} \left( Y \cdot r_A+ X \cdot r_B\right)$$

liegt. Bei der Berechnung des Mittelpunkts ist \(X:Y=1:1\) bzw.\(t=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\).

Gruß Werner

Comments

Super Erklärung, vielen Dank ! :) 

Ja ich habe wohl zu schnell geschrieben und es später gemerkt dass die Strecke in 5 "Teile" geteilt ist und von den 5 Teilen 3 auf der Seite des Punktes C sind und 2 von den 5 teilen dem Punkt B "zustehen". 

(Mit einer verschiebung von 3/2 beider Vektoren läge auch der Punkt weit weg von der Gerade BC.)

Also gilt folgendes, hab ich das Korrekt gemacht ?
 

 

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Sehr schön limonade. So ist es richtig.

Gruß Werner

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Es scheint mir so, dass ich folgende Gesetzmässigkeit erkannt habe und zwar:

dass der Ortsvektor B mit den Anzahl teilen wieviele C einnimmt im Zähler durch die gesamte Anzahl vorhandener Teile im Nenner multipliziert wird,

und der Ortsvektor C mit der Anzahl Teile wieviele B für sich einnimmt im Zähler durch die gesamte Anzahl vorhandener Teile im Nenner multipliziert wird. 

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Trotzdem noch eine Frage, was genau meinst du mit a+b =1 ?

3/5+2/5=1

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Hallo limonade,

Du schreibst: "... folgende Gesetzmässigkeit erkannt habe und zwar: dass der Ortsvektor B mit den Anzahl teilen wieviele C einnimmt ..."

Ja - nichts anderes beschreibt der Term, den ich oben bereits angegeben habe

$$r_P= \frac{1}{X+Y} \left( Y \cdot r_A+ X \cdot r_B\right)= \frac{Y}{X+Y} r_A + \frac{X}{X+Y}r_B$$

Du fragst: "was genau meinst du mit a+b =1 ?" In Deinem Beispiel ergeben \(3/5+2/5=1\). Das hast Du richtig erkannt.

Das ist ein ganz allgemein gültiges Prinzip. Man nennt das auch Gewichtung. Mal angenommen Du hast zwei Noten in einem Fach - z.B. eine Note \(n_H\) für eine Aufgabe in einer Hausarbeit und eine zweite Note \(n_K\) für eine Klassenarbeit. So wird die Note der Klassenarbeit sicher mehr gewichtet als die für die Hausarbeit. Mal angenommen, diese soll 3mal so schwer gewichtet werden. Dann ist das etwa so, als ob Du 3 Noten für die Klassenarbeit bekommen hast und eine eine für die Hausaufgabe. Der Durchschnitt \(d\) wäre also

$$d= \frac{1}{4}(n_K + n_K + n_K + n_H)= \frac{3}{4}n_K + \frac{1}{4}n_H$$

Warum teile ich hier durch 4? Weil es so ist, als ob Du vier Noten bekommen hast. 3 Noten für die Arbeit und eine für die hausaufgabe. Ist \(n_K\) eine 2 und \(n_H\) eine 5 läge der Durchschnitt bei \(11/4 \approx 3\). Nun stelle Dir mal vor die Rechnung wäre statt dessen

$$d= \frac{3}{3} n_K + \frac{1}{3} n_H$$

Auch hier wäre die Note der Klassenarbeit 3mal so 'schwer', aber \(d\) wäre \(d=11/3\approx 4\). Wie kommt das - nun die Summe \(g_S\) aller Gewichtungen ist $$g_S=\frac{3}{3}+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} > 1$$

D.h. Deine Note ist einfach mit einem Faktor >1 multipliziert worden und hat sich entsprechend verschlechtert. Das ist natürlich nicht fair - die Summe der Gewichtungen muss in jedem Fall =1 sein.

Gruß Werner

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Perfekt, alles verstanden ! Sehr sehr gut erklärt ! :)

Gruss limonade!

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Ich muss dich jetzt trotzdem noch etwas Fragen obwohl es eine "andere" Aufgabe ist, ich hoffe ich darf das.

Problem
Habe heute wieder ein paar Aufgaben gelöst und wollte, nach dem oben gelernten vorgehen aber ich weiss nicht wieso bei mir die Y-Koordinate des Mittelpunktes nicht stimmt. 
 
Grafische interpretation
Anderst als oben, wandere ich jetzt vom Punkt A (2,3) aus, von dort an geht der eine Vektor in Richtung AB und der andere Vektor in Richtung BC. Wenn man die Vektoren vollständig addiert, landet man beim Punkt C.

Also kann ich Grafisch sagen, dass ich zum Punkt A wandere, dann die hälfte der Strecke AC weiterwandern muss um zum Punkt M. (So konnte ich die Aufgabe auch rechnerisch lösen.)

Rechnerische Lösung mit Streckenteilung
Trotzdem wollte ich diese Aufgabe auch mit der Streckenteilungsdefinition lösen, das Problem ist allerdings, dass ich nicht wie oben bei Null anfange sondern erst beim Punkt A anfange die Strecke im Verhältnis X:Y = 1:1 teile.
 
Also addiere ich zum Punkt A die Strecke AC welche sich durch AB und BC ausdrücken lässt.
AB + BC = AC

r_(C) = r_(A) + AC
r_(C) = r_(A) + (AB + BC) I Ich möchte aber nur halb soweit bis zum Mittelpunkt M

r_(M) = r_(A) + 1/2(AB+BC)
r_(M) = (2 , 3) + 1/2(3 , 2) + 1/2(2 , 3)
          = (2 , 3) + (1.5 , 1) + (1 + 1.5)
          = (4.5 , 5.5)

Richtig wäre aber M = (4.5 , 5)

Frage
Ist meine Interpretation Falsch ? Und wenn wie oben die Teilung nicht bereits Ursprung anfängt. sondern bei einem Beliebigen Punkt X muss ich dann anders vorgehen?

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Hallo limonade,

Deine Überlegungensind völlig richtig - nur hast nur den Vektor \(AB\) falsch berechnet. Es ist

$$AB=r_B - r_a= \begin{pmatrix} 5\\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$$

nicht (3,2). Dann kommst Du auch zum gewünschten und richtigen Ergebnis.

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Stimmt, ich habe es jetzt bei einpaar anderen Aufgaben herausgefunden wie ich das Teilungsgesetz das du mir gezeigt hast anwenden kann um an den gesuchten Punkt zu kommen.
. 

Zum Beispiel beim Berechnen einer Mittelsenkrechte auf der Strecke c = AC.

A( 6 I 10 ), C( 14 I -2 )

$$\overrightarrow { AC } =\quad \overrightarrow { { r }_{ c } } -\overrightarrow { { r }_{ A } } =\quad \begin{pmatrix} 14 \\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix}=\quad \begin{pmatrix} 8 \\ -12 \end{pmatrix}\quad $$

Nun interessiert mich der Schnittpunkt der Mittelsenkrechte auf der Stecke AC, also die Koordinaten vom Mittelpunkt.
Dann gilt:

$$\overrightarrow { { r }_{ mc } } =\overrightarrow { { r }_{ A } } +\quad \frac { 1 }{ X+Y } (Y*\overrightarrow { { r }_{ c } } -\quad X*\overrightarrow { { r }_{ A } } )$$

Teilungsverhältnis X:Y = 1:1

$$\overrightarrow { { r }_{ mc } } =\overrightarrow { { r }_{ A } } +\quad \frac { 1 }{ 2 } (\overrightarrow { { r }_{ c } } -\overrightarrow { { r }_{ A } } )\\ \quad \quad \quad =\overrightarrow { { r }_{ A } } +\quad \frac { 1 }{ 2 } \overrightarrow { { r }_{ c } } -\frac { 1 }{ 2 } \overrightarrow { { r }_{ A } } \\ \quad \quad \quad =\frac { 1 }{ 2 } \overrightarrow { { r }_{ A } } +\quad \frac { 1 }{ 2 } \overrightarrow { { r }_{ c } } \\ \quad \quad \quad =\frac { 1 }{ 2 } \begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix}+\frac { 1 }{ 2 } \begin{pmatrix} 14 \\ -2 \end{pmatrix}\\ \quad \quad \quad =\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \end{pmatrix}\\ \quad \quad \quad =\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix}\\ \quad \quad \quad \Rightarrow \quad M(10|4)$$

~draw~ strecke(6|10 14|-2);punkt(6|10 "A(6I10)");punkt(14|-2 "C(14I-2)");;punkt(10|4 "M");zoom(18) ~draw~

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Auh! - da hast Du das ganze etwas falsch angewendet, was in diesem Fall zum richtigen Ergebnis für, da hier \(X=Y\) ist.  Versuche das mal mit \(9:1\) dann kommt ein Punkt heraus, der weit von der Strecke \(AC\) entfernt ist!

Hast Du zwei Punkte \(A\) und \(B\) so kannst Du einen Punkt \(P\), der die Strecke \(AB\) im Verhältnis \(X:Y\) teilt, berechnen

$$r_P= \frac{1}{X+Y}\left( Y \cdot r_A + X \cdot r_B\right)$$

Genau das steht oben in meiner Antwort (s.o.). Da steht ein Pluszeichen zwischen den Teilvektoren! Der Mittelpunkt \(M\) von \(A(6;10)\) und \(B(14;-2)\) teilt \(AB\) im Verhältnis \(1;1\)  - also ist

$$r_M = \frac{1}{1+1}\left( 1 \cdot \begin{pmatrix} 6\\10 \end{pmatrix}+ 1 \cdot  \begin{pmatrix}14 \\ -2\end{pmatrix}\right)=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 20\\8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}$$

Es ist also unnötig, erst die Differenz der Vektoren zu berechnen. Das gleiche gilt für die Aufgabe in Deinem vorletztem Kommentar. Die Punkte \(A\) und \(C\) sind bereits gegeben. Folglich ist ihr Mittelpunkt \(M\)

$$r_M=\frac{1}{2}\left( r_A + r_C\right) = \frac{1}{2}\left( \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7\\7 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 4,5\\5 \end{pmatrix}$$

Deine obige Lösung war zwar korrekt, aber etwas umständlich.

Answer 2

Du kannst auch rechnen:

AM = AB + BM 

= AB + 2/5 BC 

= AB + 2/5 (AC - AB) 

= AB + 2/5 AC - 2/5 AB 

= 3/5 AB + 2/5 AC 

Vektoren (fett) 

A ist ja gerade der Koordinatenursprung.

Comments

Vielen, vielen Dank Lu ! Auch eine super Erklärung !