Dimension des Unterraums U = {(x1,x2,x3,x4 ∈ R^4 | x1+x2+x3+x4 = 0}

Question

Gegeben ist U = {(x1,x2,x3,x4 ∈ R^4 | x1+x2+x3+x4 = 0} und das homogene, lineare Gleichungssystem Ax=0 mit A=(1111).

1. Ist U ein Unterraum von IR^4?
2. Welche Dimension hat U?
3. Wie viele Standardvektoren von IR^4 enthält U?

Begründen Sie ihre Aussagen! 
[15 Punkte]

Bei 1. habe ich geschrieben, dass U die Lösungsmenge des homogenen LGS Ax=0 ist und daher U ein Unterraum von R^4 ist,
denn Ax=0 ist eine Abbildung von IR^4 nach IR und sie bekommt als Argumente Elemente von R^4.

Bei 2. und 3. komme ich nicht weiter. Würde mich über Tipps freuen.

Comments

Was sind denn bei euch genau "Standardvektoren"? 

(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) und (0,0,0,1) sind jedenfalls nicht un U enthalten. 

Die Dimension ist 4 -1 = 3, da eine Gleichung (ein Einschränkung) vorhanden ist. 

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Was sind denn bei euch genau "Standardvektoren"?

Sorry, hätte Standardbasisvektoren schreiben sollen. Ja, die du aufgeschrieben hast sind es.

Die Dimension ist 4 -1 = 3, da eine Gleichung (ein Einschränkung) vorhanden ist. 

Ist das immer so? Eine Gleichung bedeutet eine Dimension und drei Gleichungen 3 Dimensionen usw.?

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Ist das immer so? Eine Gleichung bedeutet eine Dimension und drei Gleichungen 3 Dimensionen usw.?

Das ist normalerweise so. Wichtig: Die Gleichungen sollten linear sein, "=0" und "unabhängig" voneinander. Überlege dir das mal im R^3. Eine Gleichung "= 0" beschreibt eine Ebene durch den Nullpunkt (Dimension 2). Eine zweite solche Gleichung: Wieder eine Ebene durch den Nullpunkt. Die Schnittmenge ist im Normalfall (Wenn das nicht gerade dieselben Ebenen waren) eine Gerade durch den Nullpunkt (Dimennsion 1). Noch eine solche Gleichung. Es bleibt meist der Nullpunkt als Schnittmenge (Dimension 0).(Ausnahme: Alle 3 Ebenen teilen sich eine gemeinsame Gerade oder sind sogar überhaupt gleich)
Daher besser (kürzer) die Argumentation über den Kern verwenden. 

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Ebenen haben wir nicht behandelt, Kern(f) und Bild(f) schon, dann mache ich das besser mit dem Kern.

Danke schön.

Answer 1

Bei 1. habe ich geschrieben, dass U die Lösungsmenge des homogenen LGS Ax=0 ist und daher U ein Unterraum von R⁴ ist,

denn Ax=0 ist eine Abbildung von IR⁴ nach IR und sie bekommt als Argumente Elemente von R⁴.

besser wohl:   Durch  f :   x  -->  Ax wird eine lin. Abbildung von R⁴ nach R beschreiben, deren Kern U ist, und

als Kern einer lin. Abb. ist es somit ein Unterraum von   R⁴ .

Für b) kannst du wohl sagen:    Die in a) betrachtete Abbildung f hat Bild(f) = R  ( Schon die Bilder aller (x , 0 ,0 0, 0)

bilden ganz R )  Also ist dim (Bild(f)) = 1 und nach dem Dimensionssatz also dim (Kern(f) ) = 4 - 1 = 3

Also dim U = 3 .

c) Meint man hier vielleicht StandardBASISvektoren von IR⁴ .   Davon enthält es keinen, denn beim

Einsetzten in Ax gibt es bei denen immer eine 1, sie liegen also nicht im Kern von f.

Comments

Ach jaaa, die Dimensionsformel! *Kopf-Tisch*.

Super ich danke dir sehr!