Hoch- und Tiefpunkte bestimmen. f(x):= x^3-6x^2+9x

Question

Ich verstehe eine Aufgabe aus dem Buch nicht. Ich soll den hoch und Tiefpunkt dieser Funktion bestimmen : f(x)= x³-6x²+9x

Kann mir dabei jemand helfen. Ich möchte es gerne verstehen können wir man sowas berechnet.

Answer 1

Hi,

bilde die Ableitung und finde deren Nullstellen:

f(x) = x^3-6x^2+9x

f'(x) = 3x^2-12x+9

Diese nun 0 setzen:

3x^2-12x+9 = 0      |:3

x^2-4x+3 = 0          |pq-Formel

x_(1) = 1 und x_(2) = 3

Damit nun in die zweite Ableitung um zu überprüfen um welche Extrema es sich handelt.

f''(x) = 6x-12

f''(1) = 6-12 = -6 -> Hochpunkt

f''(3) = 18-12 = 6 -> Tiefpunkt

Die Punkte liegen auf H(1|f(1)), also H(1|4) und T(3|f(3)), also T(3|0).

Grüße

Answer 2

Einen der lokalen Extrempunkte kannst du schon dank der 2. binomischen Formel beinahe ablesen. 

f(x)= x³-6x²+9x

= x(x^2 - 3x + 9)  = x*(x-3)^2   
x = 3 ist eine doppelte Nullstelle von f. Daher ist P(3|0) ein lokaler Extrempunkt. Den zweiten Extrempunkt findest du z.B. über die Ableitung. Bestimme ihn und schaue, welcher von beiden eine grössere y-Komponente hat. Das ist dann ein Hochpunkt, der andere ein Tiefpunkt des Graphen von f.