Ebene Geometrie. Sechseck und Kreis.

Question

Hallo alle zusammen.

Ein (reguläres) Sechseck hat die Fläche F₆. Ihm ist ein Kreis mit der Fläche F₀ umbeschrieben.

•Berechnen Sie das Verhältnis F₀ / F₆ .

Ich verstehe bei dieser aufgabe nicht was damit gemeint ist dass ich das Verhältnis der beiden Flächen berechnen soll, was ist damit gemeint? Was soll ich da machen?

Danke leute für die Hilfe.

Answer 1

Das 6-eck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge r.

Also F6 = 6* 1/4 * r² * √3 = 3/2 * r² * √3

Der Kreis r² * pi

also F0 / F6 =  pi /  (3/2* √3 ) ≈  1,2

Comments

Der Kreis muss innerhalb des Sechsecks sein (Siehe meine Aufgabenstellung -> 0,9),
Ansonsten ist dein Gedankengang richtig.

Da du 1,2 heraus bekomst, hat der Kreis eine größere Fläche. Das Prinzip ist aber das gleiche wie meine Rechnung. Also kommt halt auf die Aufgabenstellung an!

Wenn der Kreis die innerhalb des Sechsecks sein muss würde 0,9 raus kommen
Wenn das Sechseck im Kreis sein soll würde 1,2 raus kommen!

LG :)

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OK, ich hatte "einbeschrieben" gelesen, obwohl "umbeschrieben" dort stand - sorry.

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Danke für deine tolle Hilfe :)

Answer 2

So wie ich verstehe stell eine Formel für die Fläche eines Sechseckes auf in abhängigkeit von z.b der Seitenlänge a
F6 = (3/2) · a²  · Wurzel(3) Da ich zufaul zum herleiten der Formel war hab ich sie hier abgeschrieben: (http://web2.0rechner.de/formelsammlung/mathematik/geometrie/sechseck)

Dann eine Formel für den größtmöglichsten Kreis innerhalb des Sechseckes.
Das wäre der Abstand zwischen den paralell gegenüber liegenden Seiten. = Wurzel(3) * a = X
F0 = Pi * (X/2)² = Pi * (Wurzel(3) * a / 2)^2

Nun F0/F6 

Nun bilde von beiden FOrmeln einen Bruch und Kürzen.
a also die Seitenlänge sollte sich hierbei wegkürzen und du erhältst einen Variabel freien Wert der das Verhältnis dieser beiden darstellt.

Als Ergebnis erhalte ich 0,9068 = Pi * 3 * 0,25 a² / Wurzel(3) * 1,5 * a² = Pi * 3 * 0,25 / Wurzel(3) * 1,5

Der Kreis im Sechseck hat eine ca. 10 % geringere Fläche als das Sechseck.

Hoffe ich hab keine groben fehler drin und es hilft dir weiter!
LG

Comments

Danke schön für deine tolle Erklärung :)