Grenzen Kugelkoordinaten

Question

leider verstehe ich nicht ganz wie die Integrationsgrenzen für den Polarwinkel zustande kommen (ich transformiere zu Kugelkoordinaten). Es soll das Volumen des Körpers G berechnet werden (siehe Bild)
Laut Lösung integriert man von pi/4 bis pi/2. Aus z ≥ 0 weiß ich das er "über der x-Achse" liegen muss, also "positiv"ist. Folglich nicht von - pi/2 bis pi/2 gehen kann. Ich hätte jetzt gesagt die Grenze sollte von 0 bis pi/2 sein. Scheinbar ist es jedoch falsch. Wieso pi/4 woher kommen die? Ich kann es mir einfach nicht vorstellen :(

Ich hoffe ihr versteht was ich meine :D

Answer 1

unter Verwendung von Kugelkoordinaten

$$ x=rcos(\varphi)sin(\theta)\\y=rsin(\varphi)sin(\theta)\\z=rcos(\theta) $$

ergibt sich folgendes:

Ohne Einschränkungen gilt Θ ∈ [0,π].

Aus z>=0 ergibt sich Θ ∈ [0,π/2]

Aus der zweiten Ungleichung x^2+y^2<=z^2

ergibt sich

x^2+y^2+z^2<=2z^2

r^2<=2r^2cos^2(Θ)

1<=2cos^2(Θ)

1/2<=cos^2(Θ)

Das ist eine weitere Einschränkung an Θ.

Aus Lösen der Ungleichung  folgt Θ ∈ [0,π/4]

Comments

vielen Dank für die schnelle Antwort.
Leider kann ich aber ab der zweiten Ungleichung nicht wirklich folgen. 
Bei x^2 + y^2 + z^2 ≤ 2*z^2 woher kommt da das 2*?
Und gibt es keinen Weg wie man es sich "bildlich" vorstellen kann? :(

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Zur Ungleichung:

x^2+y^2<=z^2 |+z^2

x^2+y^2+z^2<=z^2+z^2=2z^2

In Kugelkoordinaten kann man sich das Teil schlecht vorstellen, in Zylinderkoordinaten geht das hier glaub ich besser. Rechnung ist allerdings in Kugelkoordinaten einfacher, da die Integrationsgrenzen dann separiert sind.

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Achso man kann das Teil sich auch mit Kugelkoordinaten  überlegen:

z>=0 und x^2+y^2+z^2=r^2<=1 : Halbkugel mit Radius 1

und r^2<=2z^2 --> r/√2<=z ist im r-z Diagramm ein "Dreieck mit Spitze nach unten",

also handelt es sich um einen Kugelsektor.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelausschnitt

Die Grenzen für den Winkel Θ sind dann aber trotzdem nur mit Rechnung zu bestimmen.

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Also erweitere ich, so dass ich die Koordinatengleichung für die Kugel erhalte, woraus ich dann natürlich weitere Einschränkungen erhalte... ich hoffe dass ich das so richtig verstehe.

Aufjedenfall vielen Dank für die schnelle und ausführliche Hilfe!

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Eine kurze Frage hätte ich noch, überall lese ich dass die Grenzen ohne Einschränkung Θ ∈ [0,π] ist, in unserem Skript steht jedoch Θ ∈ [- π/2,π/2].

Ist es also nur wichtig dass man über den halben Einheitskreis integriert?

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Das hängt davon ab, wie ihr die Kugelkoordinaten wählt . Deshalb habe ich am Anfang nochmal die Definition hingeschrieben.

$$ x=rcos(\varphi)sin(\theta)\\y=rsin(\varphi)sin(\theta)\\z=rcos(\theta) $$

Hier ist Θ ∈ [0,π], man kann aber auch Kugelkoordinaten definieren bei denen

z=r*sin(Θ) , dann ist Θ∈[-π/2,π/2]

siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Andere_Konventionen