Betrag einer quadratischen Funktion. Wie mache ich hier die Fallunterscheidung?

Question

Meine Überlegung
Ich weiss was ein Betrag ist, so wie ich die Beträge kenne können sie nie Negativ sein, denn der Abstand zum Nullpunkt ist immer ein positiver Betrag. Deswegen kann eine Betragsfunktion grafisch nie im dritten und vierten Quadranten gezeichnet sein. 
Sind diese Überlegungen richtig?

Ich weiss nicht wie ich die Fallunterschiedungen machen muss, bei der Funktion y = IxI war es einfach, 

Beispiel y = I x^{2} - 1 I 
Ich habe ein Beispiel zu y = I x^{2} - 1I 

Ich zeichne diese Funktion auf ein Blatt papier als wäre es die Funktion y = x^{2} - 1 (ohne Betragsstriche) dann schaue ich alles was der Graph nach nach unten macht und spiegle die entsprechenden werte an die x-Achse nach oben in den Positiven bereich (1.,2. Quadrant) 

Problem
Das zeichnen ist ja einfach, die Überlegung dass kein Betrag negativ sein kann lässt mich auch wissen, dass es für eine Betragsfunktion keine negative Werte geben kann. 

Wie aber beschreibe ich Abschnittsweise, was die Funktion macht, mach ich das folgendermassen?

Nach dem Aufzeichnen schaue ich was die Funktion macht und sehe folgendes:
(1) von minus unendlich bis -1: y = x^{2}-1
(2) von -1 bis 1: y = -(x^{2} -1) = -x^{2} + 1
(3) von 1 bis unendlich: y = x^{2} -1

Nach meinen Beobachtungen benutze ich die Intervallschreibweise:
(1) (-∞,-1] :  y = x^{2}-1
(2) (-1.1) : y = -x^{2} + 1
(2) [1,∞] : y = x^{2} -1

Wenn das hier oben stimmt, woher wiess ich, zu welchem Intervall die 1 und -1 zu rechnen sind? 

Answer 1

"Das zeichnen ist ja einfach, die Überlegung "

Das hast du auch richtig gemacht.

Wenn du aus irgendeinem Grund nur nur rechnen möchtest:

Benutze die 3. binomische Formel

x^2 - 1 = (x+1)(x-1)

Nun hast du rechts 2 Faktoren. Wenn beide grösser 0 oder beide kleiner 0 oder beide gleich 0 sind, gibt es kein Problem. Der Betrag ändert nichts am Resultat.

Ist aber ein Faktor kleiner 0 und der andere grösser 0 , muss noch das Vorzeichen geändert werden. Überlege dir nun anhand von  (x+1)(x-1)  , welche x-Werte für diesen "Sonderfall" in Frage kommen.

(x-1) ist sicher kleiner als (x+1)

Als Sonderfall kommt nur in Frage, dass x-1 < 0 und gleichzeitig x+1>0. Also x<1 und x>-1. 

Wenn das hier oben stimmt, woher wiess ich, zu welchem Intervall die 1 und -1 zu rechnen sind? 

Das kannst du frei entscheiden (Grund: +0 = 0 und -0 =0). Wichtig ist einzig, dass du 1 und -1 nicht zwei mal anfügst, wenn du deine Funktion stückweise definieren möchtest. 

Comments

Mithilfe der Binomischen Formel sehe ich ja, dass die Nullstellen -1 und 1 sind. Dort fällt sozusagen der Punkt auf die x-Achse, an meinem Beispiel müsste es (wenn von links nach rechts geschaut) folgendermassen aussehen:

Was macht die Funktion von Nullstelle zu Nullstelle?
Die Funktion y = x^{2}-1 geschieht im Intervall (-∞,-1]

Die Funktion y = -x^{2} + 1 folglich im Intervall (-1,1)

Die Funktion y = x^{2} -1 wieder im Intervall [1,∞)

Zusammengefasst
Ich habe also insgesamt in meinem Bild 2 Funktionen

(1) y = x^{2} - 1 für die Intervalle (-∞,-1] und [1,∞) 
(2) y = -x^{2} +1 für das Intervall (-1,1)

Fallunterscheidung

y = | x^{2} - 1 |

(1) y = x^{2} - 1 für {x | x ≤- 1 ∧ x ≥ 1}

(2) y = -x^{2} +1 für  {x | -1 < x < 1}

Überlege ich viel zu weit oder kann man das so machen ?

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Perfekt, dass mit der grösse des Betrages der Faktoren einer Binomischen Formel kenne ich nicht, welches grösser und was genau mit den Vorzeichen geschieht,
Hast du hier vielleicht ein Link oder ein Thema das ich recherchieren kann ?

Ansonsten habe ich alles super verstanden.
Beide Funktionen haben die gleichen Nullstellen, ich kann entscheiden zu welcher Funktion ich die Nullstellen zähle, wichtig ist dabei dass ich die jeweiligen Nullstellen bzw. deren x-Koordinaten nicht in "beide" Intervalle hinein nehme. :)

Vielen dank

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Die Schreibweise zum Schluss passt noch nicht richtig!

Du hast nur EINE Funktion und ist auf ganz ℝ definiert. Sie kann mit dem Betrag oder sogenannt stückweise/abschnittweise definiert werden, wenn man den Betrag nicht verwenden möchte.

Lies https://www.matheretter.de/wiki/abschnittsweise-funktionen bis und mit Glühbirne unten. Du siehst dort eine schöne grosse geschweifte Klammer, die die Definition zusammenhält und die man hier im Editor nicht ohne TeX schön hinbekommt.

Deine Rechnung ist richtig und sehr ausführlich. Ich habe gerade noch einen logischen Fehler entdeckt in der Fallunterscheidung. Ist dir klar, warum dort ein logisches ODER hingehört? 

Fallunterscheidung 

y = | x² - 1 | 

(1) y = x² - 1 für {x | x ≤- 1 ∨ x ≥ 1}

(2) y = -x² +1 für  {x | -1 < x < 1} 

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Perfekt, dass mit der grösse des Betrages der Faktoren einer Binomischen Formel kenne ich nicht, welches grösser und was genau mit den Vorzeichen geschieht, 

Du meinst, dass x-1 immer kleiner als x+1 ist ? 

Ich glaube da genügen ein paar Beispiele: 

x = 1 , x-1 =0, x+1 = 2 und 0 < 2

x=2, x-1 = 1 , x+1= 3 und 1 < 3 

usw. 

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Der Logische Fehler

Ich denke weil es sich um eine vereinigte Menge hanedlt, oder?

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Ja genau. So ist es.

Answer 2

Ich scheine einmal wieder die Problematik der
Frage nicht verstanden zu haben.

Für die Betragsfunktion gilt
term ≥ 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

y = I x² - 1 I

1.Fall
x^2 - 1 ≥ 0
x^2 ≥ 1
x ≥ 1
oder
x ≤ -1
Dafür gilt
f ( x ) = x² - 1

2.Fall
x^2 -1 < 0
-1 < x < 1
Dafür gilt
f ( x ) = ( x² - 1 ) * (-1 )
f ( x ) = 1 - x²

Das wars doch eigentlich