Ich bin Student und mache gerade ein paar Übungsaufgaben zur Mathe II Klausurvorbereitung. Die Frage ist nicht ganz so einfach deshalb sollte man sich ein bisschen mit Integrationsregeln und Partialbruchzerlegung auskennen.
Die Aufgabe war f(x) = 2x3+x2+5x+1 / (x2+2)2
zu integrieren.
Wendet man die Partialbruchzerlegung an mit der imaginären Zahl sqrt(2)*i als doppelte Nullstelle
kommt man zu der Formel:
f(x) = Ax +B / (x2+2) + Cx +D / (x2+2)2
auf einen Nenner bringen auflösen und mit DGL die Koeffizienten berechnen liefert schließlich:
f(x)= 2x+1 / (x2+2) + x-1 / (x2+2)2
Soweit hab ich alles richtig, da die Lösung bei der Aufgabe dabei ist. Nun wird in der Lösung jedoch einfach als nächstes die Stammfunktion angegeben als:
\( \int f(x) \mathrm{d} x=\frac{-2 x-4}{8\left(x^{2}+2\right)}+\frac{3 \sqrt{2}}{8} \arctan \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}+\ln \left(x^{2}+2\right)+K \)
Ich seh nicht wie ich nur mit den mir bekannten regeln plötzlich auf diese Stammfunktion kommen soll
ich weiß wohl, das gilt: f(x)= 1 / (x2 +1) F(x) = arctan(x) , was aber nicht vieles erklärt, außer einen hinweis gibt, wie der arctan da rein kommt.
Ich hab mir gedacht, dass man die Funktion, welche man durch die Partialbruchzerlegung erhält auch einfach wieder per Partialbruch zerlegen kann, bis man kein x mehr im Zähler hat und dan einfach mit den logarithmusregeln aufleiten kann.
Geht das? Und wenn ja muss ich jeden Abschnitt einzeln wieder zerlegen, oder kann ich beide summanden gleichzeitig zerlegen?
Oder kennt jemand den Trick, wie man auf die genannte Stammfunktion ohne nochmalige Partialbruchzerlegung kommt? Sprich: wenn immer noch ein x im Zähler steht.
