Polynom 3. Grades teilweise durch Parabeln darstellen

Question

habe folgendes Problem, das ich nicht in der Lage bin, ohne Hilfe zu lösen! Hatte diese Frage schon einmal gestellt, jedoch ohne detaillierten Rechenweg und damit ohne aussagekräftige Antwort, hoffe, dass diesmal eine Lösung erläuterbar wird:

y₁=1/3x³-x+2/3

y₂₌ a(x-ß)²+y₀  Parabel in Scheitelpunktform

es soll gelten: y₁=y₂ und y₁'=y₂';

y₁'=y₂'=2a(x-ß)=x²-1; x-ß=(x²-1)/2a; ß=x-(x²-1)/2a;

y₂=a(x-ß)²+y₀; für ß Einsetzen y₃=a(x-x+(x²-1)/2a)²+y₀; y₃=(x²-1)²/4a+y₀;

Extremwerte dieser Funktion: y₃'=0=2*2x(x²-1)/4a; x₁=0; x_2/3=+-1, nur zur Probe!

die Funktion y₃ soll die Funktion y₂ mit einschließen, daraus folgt eine von mir gemachte Gleichsetzung, die wahrscheinlich falsch sein wird:

y₃=y₂, daraus folgt: a(x-ß)²+y₀=(x²-1)²/4a+y₀, daraus folgt: 4a²(x-ß)²=(x²-1)², tja und nun weiß ich nicht weiter, ich könnte zwar noch die Nullstellen der beiden Terme, einmal durch Substitution, x²=z; ermitteln, bzw. den linken Term auch gleich Null setzen, (x-ß)² =0, so dass diese Gleichung erfüllt ist, dies bringt mich jedoch auch nicht weiter!

Können Sie mir helfen? Möchte ß ermitteln, so dass eine beliebige Funktion durch eine Parabel in Scheitelpunktform, zumindest teilweise,darstellbar ist.

Answer 1

suchst du so was?

~plot~ x^3/3-x+2/3;(x-1)^2;4/3 -(x+1)^2 ~plot~

Comments

Nein, der Graph soll nachgebildet werden, die Scheitelpunkte dürfen also nicht zusammen liegen, bei meinem Beispiel! Man hat eine Messreihe, die Extrem- und Wendepunkte der Funktion sind damit bekannt, es kann ein Graph, Parabel, konstruiert werden, wie gesagt, der Graph hat aber etwas verschobene Extrempunkte! Damit kann man doch dann, jeweils in einem bestimmten Definitionsbereich, eine Funktion, durch die Parabeln aufstellen!

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Habe vor 3 Tagen schon das gleiche Problem, hier im Portal angesprochen, mit den entsprechenden Graphen, auf die ich diesmal verzichtet habe, in der Veranschaulichung!

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Ok, dann willst du also eine quadratische Regression machen.

Im Allgemeinen wird das natürlich nie ganz genau.

Schau dir dazu mal den Link an:

http://www.stksachs.uni-leipzig.de/tl_files/media/pdf/lehrbuecher/informatik/Regressionsanalyse.pdf

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Achso jetzt sehe ich in deinem Bild langsam was du machen möchtest.

Warte mal kurz ;)

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Ja, so etwas in der Art! Bin kein ausgebildeter Mathematiker....., "Dankeschön"!

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Also ich habe jetzt mal deine Rechnung versucht nachzuvollziehen

und habe entsprechend versucht den Graphen an der Stelle x=2 zu nähern.

Da habe ich folgendes:

~plot~ 1/3x^3-x+2/3;2x^2-5x+10/3 ~plot~

Wenn g(x)=ax^2+bx+c die Parabel ist, dann habe ich einfach f(2)=g(2)

f'(2)=g'(2) und f''(2)=g''(2) gefordert.

Das kann man an jeder Stelle machen,muss man sich halt raussuchen ;)

Irgendwann wird die Abweichung aber zu groß.

Im Bereich zwischen den Wendepunkten ist so eine Näherung nicht sinnvoll, da Parabeln keine Wendepunkte besitzen.

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Ist aber ungenau, ja, der Wert "2" ist doch viel zu hoch gelegen! Trotzdem ein "Dankeschön"! Genau möchte ich den ersten (!) Schnittpunkt, "Bitteschön"!

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Was meinst du mit "ersten Schnittpunkt"?

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Da, wo die Parabel in das Polynom 3. Grades übergeht!

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Mmh das wäre ja bei mir bei x=2, einen Schnittpunkt gibt es ja. Was genau verstehst du unter "ersten" Schnittpunkt ??

Was unterscheidet diesen Schnittpunkt von anderen Schnittpunkten?

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y₁₌y₂ und y₁'=y₂', der Punkt muß auf den Funktionen liegen und muß den gleichen Anstieg haben, der erste Punkt wird gesucht, Grenzwertaufgabe?

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y₁=y₂, Entschuldigung, die Syntax!!!!!!!!!!!

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Naja das habe ich ja auch zur Berechnung der Funktion genutzt.

 f(2)=g(2)

f'(2)=g'(2) und f''(2)=g''(2)

Einen ersten Punkt gibt es so wie du dir ihn vorstellst nicht, da man da die Stelle x sich raussuchen kann. 

Das Problem ist in der Form unterbestimmt.  

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Glaube ich nicht! Dies wird ein Grenzwertproblem sein, man braucht x doch nur gegen die Extremwertstelle laufen lassen, würde ich mal so sagen......!

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Meinst du die Extremalstelle  x=1?

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ja, das meinte ich

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Dazu habe ich dir bereits ganz oben im ersten Bild die entsprechende Funktion angegeben:

y₂(x)=(x-1)^2

dann gilt

y₂(1)=y₁(1)

y₂'(1)=y₁'(1)

y₂'(1)=y₁'(1)

Es sind also deine gewünschten Forderungen erfüllt.

Der Schnittpunkt liegt sogar genau bei x=1

Ich verstehe nicht so ganz was dein Ziel bei der ganzen Sache ist ;)

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Man bekommt doch, wenn man die Gesamtgleichung für y bildet, so wie ich es gemacht habe eine Gleichung, die nur einen beschränkten Definitionsbereich hat. Diese gilt so weit, bis die Graphen auseinander gehen. Dieses x suche ich!!!!!!

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Das Ziel hatte ich schon weiter oben, die Messstellen......., erläutert! Schade, trotzdem nochmals ein "Dankeschön"!

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Nein, der Definitionsbereich ist erstmal gar nicht eingeschränkt. Wenn man mal ganz allgemein von den zwei Gleichungen

y₁(x)=y₂ (x) und y₁'(x)=y₂'(x)

ohne x konkret festzulegen, dann hat man 3 Variablen und zwei Gleichungen

und bekommt unendlich viele Lösungen. 

Auch die Formulierung " bis die Graphen aus einandergehen" musst du konkretisieren.

Die Graphen "gehen immer auseinander" . Die Frage ist nur, " wie sehr ".

Ich glaube wir kommen hier nicht so richtig vorwärts ;)

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Es gibt doch auch genau bestimmbare Schnittpunkte, also wird es auch einen Punkt geben, ab dem die Graphen auseinander gehen. Nochmals " Dankeschön", dies war mein letzter Kommentar dazu!

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Habe mir heute diese Aufgabe noch einmal angeschaut. Wahrscheinlich muß ich bei  4a²(x-ß)²=(x²-1)²  die Wurzel ziehen und dann nach x Auflösen, die übrig bleibende quadratische Gleichung! Erhalte:

x_1/2=a+-(a²-2aß+1)^1/2