Woher weiß man, dass f(x)= x^4+2x^2 eine normale Parabel ist, und nicht so eine Parabel wie sonst bei ganzrationalen

Question

Woher weiß man, dass f(x)= x^4+2x^2 eine neormale Parabel ist, und nicht so eine Parabel wie sonst bei ganzrationalen funktionen?

Comments

Wie meinst Du das denn? Unter einer "normalen" Parabel verstehe ich x^2 ;).

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Also eine Aufgabe in unserem Mathe Buch heißt:

Skizzieren Sie grob den Verlauf des Graphen.

f(x) = x^4+2x^2

Ich habe gedacht, dass da so eine ich sage mal Schlangenlinie herauskommt , also die Parabel diese Kurven nach oben und unten hat, so wie es normalerweise bei ganzrationalen Funktionen ist.

In den Lösungen ist aber eine Parabel, die einfach nur nach oben geöffnet ist skiziert.

Danke für die hilfe!

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@Unknown: FS möchte wissen, warum die Funktion \(y=x^4+x^2\) anders aussieht als ihre beiden Kolleginnen \(y=x^4-x^2\) und \(y=-x^4+x^2\). Das ist doch eine sehr gute Frage!

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Ich vermute mal, Du sollst eine kleine Kurvendiskussion machen. Also Extrema und Wendepunkte bestimmen. Da wirst Du feststellen, dass es keine solche gibt und deshalb kannst Du dann eine Parabel ohne "Höcker" zeichnen ;).

@az0815: ?

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Wir sind gerade am Anfang des Themas, also bisher haben wir nur besprochen waxs eine ganzrationale Funktion ist, und wie sie sich Verhält bei xgegen+/- unendlich und x nahe 0.

wir sind sonst immer so vorgegangen:

xgegen +/- unendlich bestimmt, also in diesem fall h(x)=x^4

und x nahe 0 bestimmt, also in diesem Fall g(x)=2x^2

dann haben wir den Graphen von h(x) gezeichnet und konnten so mit Hilfe von h(x) schauen ob der graph negativ oder positiv verläuft (in diesem fall positiv) und dan n die kurve einzeichnen , sodass sie in der nähe von 0 dem graphen g(x) ähnelt.

so habe ich dass dann auch mit dieser funktion gemacht. aber in den Lösungen ist eine normale mach oben geöffnete parabel ohne ,,höcker'' gezeichnet.

woher weiß ich, wann ich so eine normale parabel zeichne und wann so eine mit höckern? weil die funktionsgleichung sah für mich ganzrational aus, also mit höckern.

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@ julia_bchl: Verrate doch mal, welches Buch ihr benutzt!

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Hmm, wenn man nur das Verhalten im Unendlichen und im Bereich zur 0 untersucht, kann man keine Aussage über die "Höcker" machen?!?!

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@az0815 Lambacher Schweizer Mathematik Einführungsphase von Klett

(S. 45 Nr. 2b)

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Okay, ich glaube ich kann die Aufgabe noch gar nicht lösen, ich habe die trainings Seite zum üben für die Klassenarbeit benutzt, aber es sieht so aus , als o man das nicht mit dem Verfahren , das wir gelernt haben lösen kann. Trotzdem vielen lieben Dank für eure Hilfe!

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@jc2144

heißt das, dass die Parabel nur Höcker bekommt, wenn es positive und negative Werte in der Funktionsgleichung gibt?

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Okay nein meine Vermutung stimmt nicht, da f(x)= x^3 + 2x^2 +1 zum Beispiel auch Höcker hat aber alle Werte positiv sind.

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Ja, wenn du nur Summanden mit x^4 und x^2 hast, dann muss vor einem der beiden ein Minus stehen, damit "Höcker" entstehen.

Siehe z.B

~plot~ x^4-2x^2 ~plot~

PS: bei deinem Beispiel ist zu beachten, dass der höchste Exponent x^3 ungerade und dieser für x gegen -∞ negativ wird.

 

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@julia_bchl: Danke, das Problem kenne ich und dein Ansatz ist schon mal ganz gut!

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@jc2144

Das heißt ich muss mir einfach merken, wenn n, also der Exponent nur als gerade zahl auftaucht, muss vor mindestens einem Summanden ein minus stehen um Höcker zu bekommen.

Wenn ,aber n einmalals ungerade zahl auftaucht, können auch ruhig alle summanden positiuv sein und es gibt trotzdem höcker

und wenn alle zahlen ungerade exponenten haben und alle summanden positiv sind bzw. alle summanden negativ sind, gibt es auch keine höcker

richtig? :)

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vielen Dank für die Mühe!!!

Answer 1

da beide Summanden +x^4 und +2x^2  stets wachsen (von x=0 ausgehend ) für x gegen ±∞ verläuft der Graph

wie eine " normale Parabel" , nur steiler.

Answer 2

Die Funktion

$$ f(x)= x^4+2x^2 $$verhält sich global (im Unendlichen) wie \(y=+x^4\) und lokal bei \(x=0\) wie \(y=+2x^2\). Versuche mal, eine ganzrationale Funktion mit diesem Verhalten zu skizzieren, die weniger als vier Extrempunkte aufweist!

Answer 3

Also eine Aufgabe in unserem Mathe Buch heißt:

Skizzieren Sie grob den Verlauf des Graphen.

f(x) = x⁴+2x²

^{Warum machst du nicht ganz einfach diese Aufgabe.}

^{Du erstellst eine Werttabelle für}

^{0 => 0
1, -1 => 3
2,-2  => 24
3,-3  =>
Wobei es wenig arbeitsaufwendig ist da für negative
und positive Werte sich derselbe Funktionswert
ergibt. ( Achsensymmetrisch zur y-Achse )
Dann trägst du die Werte in ein Koordinaten-
system ein und berechnest eventuell noch ein
paar Zwischwerte,
Für die geforderte grobe Skizze dürfte es
ausreichend sein.}

Comments

Die Skizze soll anhand des Funktionsterms erstellt werden und nicht über eine Wertetabelle!