wie kann man hier gut die Nebenbedingungen aufstellen?

Question

Aus einem Stamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein rechteckiger Balken geschnitten werden. Die Tragfähigkeit des Balkens ist proportional zur Breite sowie zum Quadrat der Höhe des Balkens. Die von der Holzart abhängige Proportionalitätskonstante sei C. Der Durchmesser des Stammes betrage 40cm.

Welche Breite und Höhe muss der Balken erhalten, damit seine Tragfähigkeit maximal wird?

Schon im Voraus ein fettes Danke

Answer 1

Die Skizze

Nebenbedingung
40^2 = b^2 + h^2
h^2 = 40^2 - b^2

W = c * b * h^2
Soll max werden
W = c * b * ( 40^2 - b^2 )
W = c * ( 1600*b - b^3 )
W ´( b ) = c *   ( 1600 - 3 * b^2 )
Extremwert
c *   ( 1600 - 3 * b^2 ) = 0
1600 - 3 * b^2 = 0
3 * b^2 = 1600
b^2 = 1600 / 3
b = 23.09 cm

Answer 2

Hallo Ben,

die Frage nach der Nebenbedingung ist schnell beantwortet. Aus der Zeichnung

sieht man, dass die Höhe \(h\), die Breite \(b\) und der Durchmesser \(d\) ein rechtwinkliges Dreieck bilden - also ist die Nebenbedingung:

$$h^2 + b^2-d^2=0$$

Kommst Du mit dem Rest der Aufgabe zurecht?