Question

Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit einem indirekten Beweis:

(i) √3 ist keine rationale Zahl, d.h. es gibt keine natürlichen Zahlen m,n mit

(m/n)² =3

(ii) Die Gleichung x³ = 1 + x² besitzt keine rationale Lösung x = m/n ,

m, n ∈ ℕ.

(iii) Sei a > 0. Dann ist jede Lösung x der Gleichung x - a ln x + 1 = 0 größer als 1.

Könnt ihr mir bitte helfen?^^

Answer 1

(i) O.B.d.A. ist m/n vollständig gekürzt.

(m/n)² =3 ⇒ m²/n² =3 ⇒ m² = 3n². Insbesondere ist also m² durch 3 teilbar. Wegen Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist dann auch m durch 3 teilbar, z.B. m = 3z mit z∈ℕ. Einsetzen liefert

(3z)² = 3n² ⇒ 9z² = 3n² ⇒ 3z² = n². Insbesondere ist also n² durch 3 teilbar. Wegen Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist dann auch n durch 3 teilbar.

Da n und m durch 3 teilbar sind, ist m/n nicht vollständig gekürzt.