Vollständige Induktion durchführen. Behauptung 1+3+3^2+...+3^{n-1}= (3^n-1):2

Question

Hallo ich weiß nicht weiter

1+3+3^2+...+3^{n-1}= (3^n-1):2

wie ist denn dafür das summenzeichen? und wie soll man den induktionsschritt anfangen/führen?

Vielen Dank

Comments

Das ist in der Form ganz sicherlich falsch.

Links steht was in Abhängigkeit von n und rechts eine Konstante. Korrigiere bitte.

Ansonsten Google mal Geometrische Reihe.

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oh ja entschuldigung ich habe mich vertippt und es jetzt verbessert

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OK so ist es richtig :). Hier mal die Schreibweise mithilfe des Summenzeichens:

$$  \sum_{k=0}^{n-1}{3^k}=\frac { 3^n -1 }{ 2 }$$

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oh danke das hilft...

Ich bin jetzt beim InduktionsSchritt

n-->n+1 

Summe von k=0 nach n+1-1 von 3^k = (3^n+1)-1/2

so und wo kann ich dann meine Induktionsbehauptung einsetzen also wie?

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Hast du die Antworten zu den ähnlichen Fragen (unten) schon angeschaut?

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Ja aber ich verstehe nicht wie ich die IB einsetzen soll weil ja oberhalb meiner Summe ein n steht und bei der IB steht n-1

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Bsp. ohne Summenzeichen https://www.mathelounge.de/41000/beweis-durch-vollstandige-induktion-1-1-5-1-5-2-1-5-3-1-5-n-5-4-1-1-5-n

"weil ja oberhalb meiner Summe ein n steht und bei der IB steht n-1 " 

Du brauchst du allerhöchstens Bruchrechnung und Potenzgesetze um dieses Manko zu beheben. Z.B. 1/3 vor das Summenzeichen nehmen oder einfach substituieren: k = n-1. 

Zeige am besten deine ganze Rechnung. Wie kommt denn 1/2 neben deinen Bruchstrich? 

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ok jetzt stehe ich komplett auf dem schlauch...warum denn jetzt auf einmal bruchrechnung? ich weiß nicht wie der anfang des IS geht :( also dieser erste schritt wo man IB einsetzen sollte...

Answer 1

Ind.vor. : Summe von k=0 nach n-1 von 3^k = (3ⁿ-1)/2

Ind. beh:  Summe von k=0 nach n+1-1 von 3^k = (3ⁿ⁺¹-1)/2

Also Nachweis so:

Summe von k=0 nach n+1-1 von 3^k

= Summe von k=0 nach n von 3^k

letzten Summand extra schreiben gibt

= 3ⁿ + Summe von k=0 nach n-1 von 3^k

Dann Ind.vor. einsetzen

= 3ⁿ +  (3ⁿ-1)/2        gem Nenner machen

= 2*3ⁿ / 2 +  (3ⁿ-1)/2

= ( 2*3ⁿ  +  3ⁿ-1)/2

= ( 3*3ⁿ  -1)/2

= ( 3ⁿ⁺¹  -1)/2    Bingo !