Inhomogenes Dgl System AWP lösen

Question

Hallo könnte mir jemand erklärend folgende Aufgabe vorrechnen??

(a) Bestimmen Sie die Lösung des AWPs.

(b) Bestimmen Sie das Langzeitverhalten dieser Lösung (d. h. wenn t → ∞).

(c) Wenn andere Anfangswerte gegeben wären, würde man das gleiche Langzeitverhalten

wie in (b) beobachten? Begründen Sie Ihre Antwort.

Comments

Wenn Du Dich an der Lösungsfindung beteiligen willst: Ein sinnvoller Anfang waere, alle Eigenwerte und -vektoren von A auszurechnen.

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Eigenwerte und die dazugehörigen EV:λ1=0. (1,0,0)^Tλ2=−1 (1,-1,1)^Tλ3=5 (1,5,25)^T
Eigentlich wäre es mir lieber, wenn man die gesamte Rechnung aufschreiben würde, sodass ich sie selbstständig nochmal nachrechnen könnte und bei Fragen mich hier eventuell melden könnte. Dies würde viel Zeit sparen. Zudem ich noch viele weitere Aufgaben zudem Thema bearbeiten möchte. Trotzdem danke für deine Hilfe und wie geht es nun weiter?

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Vom Duplikat:

Titel: Inhomogenes DGL System - AWP lösen

Stichworte: differentialgleichung,dgl,system,lösen,inhomogen

folgende Aufgabe:

bei Teilaufgabe a) habe ich heraus, dass mein y(t)=(0,0,0)^T ist. Wäre dies korrekt? Mein Fundamentalsystem (e^At) hat in der ersten Spalte nur nullen, daher werden aufgrund der Anfangswerte und des Störgliedes alle Werte zu null.
Ich hoffe jemand kann mir diese Frage beantworten.

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bei Teilaufgabe a) habe ich heraus, dass mein y(t)=(0,0,0)^T ist. Wäre dies korrekt?

Eine einfache Probe gibt die Antwort.

Ein Hinweis zur Bearbeitung steht hier: https://www.mathelounge.de/483976/inhomogenes-dgl-system-awp-losen. (Vierter Treffer unter "Aehnliche Fragen".)

Answer 1

zu a)

y₁ '=       y₂               +t *e^{-t}

y₂ '=                  y₃

y₃ '=      5y₂  +4 y₃

-------------------------------------

--->

y₃= y₂ '

y₃ '= y₂ ''

eingesetzt in  y₃ '=      5y₂  +4 y₃

y₂ ''  = 5y₂  +4y₂ '

y₂ ''  -4y₂  '- 5y₂ =0

k^2 -4k -5=0

y₂= C₁ e^{5t} +C₂ e^{-t}

y₃=y₂'

y₃= 5 C₁ e^{5t} -C₂ e^{-t}

die AWB in y₂ und y₃ eingesetzt:

->C₁ =C₂ =0 ------>y₂ =y₃ =0

y₁ '=       y₂               +t *e^{-t}

y₁ '=  t *e^{-t}

y₁= -e^{-t}(t+1)+C , die AWB eingesetzt:

y₁=-e^{-t}(t+1)+π +1

-> y₂ =y₃ =0

Lösung:

y₁=-e^{-t}(t+1)+π +1

zu b)

π +1

zu c)

Setze eine andere beliebige AWB ein , dann siehst Du das Ergebnis.

Comments

Wenn das dir keine Probleme bereitet könntest du das ganze nochmsl handschriftlich hochladen?

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das verstehe ich jetzt nicht, das ist doch handschriftlich??

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Ich meine als Bild, wenn das für dich keine Mühe ist..

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y₁ '=       y₂               +t *e^-t

y₂ '=                  y₃

y₃ '=      5y₂  +4 y₃

_{Wie kommt man darauf?}

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durch "Ablesen"

Du gehst die 3 Zeilen durch.

1. Zeile : y₁ = 0 , y₂=1 , y₃=0

das machst Du für jede Zeile und addierst von f(t) noch etwas dazu , wenn nicht =0.

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Darf man diese umformung einfach machen?

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Ja , das darf man. Es ist wirklich nur " Ablesen" und das meine ich

sicher nicht böse.

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Y₂= C₂ e^5t +C₂ e^-t

^{Müsste dort nicht ein C}₁ ^stehen?

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Wie sollte die Begründubg in c) aussehen?

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zu c)

Wenn  Du andere AWB's hast ,sind auch Deine Werte für

C₁ , C₂ und C₃ anders.Damit bekommst Du andere Lösungen für

y₁. y₂, y₃ und somit ist auch das Langzeitverhalten anders.

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Könntest Du c konkret an einem bsp zeigen?

Answer 2

Zu jedem Eigenvektor \(\pmb{c}\) mit Eigenwert \(\lambda\) gehoert eine Lösung \(e^{\lambda t}\pmb{c}\) des homogenen Systems. Wenn Du genug linear unabhaengige Eigenvektoren hast (hier der Fall) bilden die ein Fundamentalsystem. Fuer eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems kannst Du einen Aehnlichkeitsansatz machen. Waehle also ein \(\overline{y}\) vom selben Typ wie \(f\) (Polynom ersten Grades·e^-t).

Answer 3

siehe hier:

https://www.mathelounge.de/484978/inhomogenes-dgl-system-awp-losen?show=485136#a485136

Comments

Danke jedoch fehlt mir genau der Teil, was vor deiner Antwort stehen sollte.

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Wo in meinem Beitrag genau ?

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Wie ich nach den Eigenvektoren weiter machen muss?

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Das  mußt Du Fakename fragen , er hat Dir diesen Weg vorgeschlagen.