Fragen zur Vollständigen Induktion: Teilbarkeit

Question

ich habe mehrere Probleme mit Aufgaben zur vollständigen Induktion, an diesem sitze ich etwas länger.

Als erste Aufgabe soll ich zeigen das für alle natürlichen Zahlen n gilt: 11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹ ist teilbar durch 133.

Anfang für n=0

11²+12=133 -> teilbar durch 133

Schritt n -> n+1

11ⁿ⁺³+12²ⁿ⁺²

11*11ⁿ⁺²+144*12²ⁿ

^{aber ab hier komme ich nicht weiter.} 

Answer 1

Hi biberx,

"Tipp:"

$$ 11^{n+3}+12^{2n+3} = 11 * 11^{n+2} + 144 * 12^{2n+1} = 11 * 11^{n+2} + 133 * 12^{2n+1}  + 11*12^{2n+1} $$ Grüße

Comments

Ich denke mal, die 2²ⁿ⁺³ sind eigentlich 12²ⁿ⁺³ ?

Und jetzt mal kurz aufgeschrieben:

11*11ⁿ⁺²+11*12²ⁿ⁺¹+133*12²ⁿ⁺¹=

11*(11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹)+133*12²ⁿ⁺¹

wobei 11*(11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹) aus der Voraussetzung Teilbar ist und 133*12²ⁿ⁺¹ ja aufgrund des Faktors eh?

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Das stimmt, ich habe das oben schnell korrigiert. Deine Folgerungen sind zudem richtig.

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Gut, mein Problem war wohl die Umformung von 144*12²ⁿ⁺¹  zu 11*12²ⁿ⁺¹ +133*12²ⁿ⁺¹ 

Answer 2

> 11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹ ist teilbar durch 133.

Wenn ich für den Induktionsschritt das n durch n+1 ersetze, dann bekomme ich 11^(n+1)+2+12^2(n+1)+1. Schau mal ob du sowas ähnliches hast.

Comments

Hab ich, nur schon ausformuliert als:

11^(n+1)+2+12^2(n+1)+1=11ⁿ⁺³+12²ⁿ⁺³

-> falsch?

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Ah, ich glaube ich verstehe worauf du hinaus willst :)

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Hm, leider komme ich doch damit nicht weiter. In der oberen Aufgabenstellung hatte sich aber natürlich ein Fehler eingeschlichen.

11ⁿ⁺³+12²ⁿ⁺² sollte natürlich 11ⁿ⁺³+12²ⁿ⁺³ 

sein:)