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Ich soll für jedes n N0 eine Bézout-Identität

xn ·fn+1 +yn ·fn =1 mit xn, yn Z bestimmen .

Wie mach ich das? Anschließend soll ich meine Behauptung mit induktion zeigen .

Kann mir das jemand erklären ?

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Hallo Sandra,

Probiere mal ein paar Fälle durch, dann kommt man recht schnell auf den möglichen Zusammenhang

$$(-1)^n(-f_{n-2} f_{n+1} + f_{n-1}f_n) = 1$$

Bzw.: \(x_n=-(-1)^nf_{n-2} \) und \(y_n=(-1)^nf_{n-1}\)

Mit \(n=2\) und \(f_0=0\) bis \(f_3=2\) lässt sich dann der Induktionsanfang fix zeigen. Übergang von \(n\) nach \(n+1\) liefert:

$$(-1)^{n+1}(-f_{n-1} f_{n+2} + f_{n}f_{n+1}) = 1$$

was zu beweisen wäre. Dazu breche ich beide Gleichungen auf die Größen \(f_{n-2}\) und \(f_{n-1}\) herunter. Es ist

$$f_n=f_{n-1} + f_{n-2}$$

$$f_{n+1} = 2f_{n-1} + f_{n-2}$$

$$f_{n+2} = 3f_{n-1} + 2f_{n-2}$$

Einsetzen in den Induktionsanfang ergibt die Induktionsvoraussetzung in etwas anderer Form

$$(-1)^n(-f_{n-2}(2f_{n-1} + f_{n-2}) + f_{n-1}(f_{n-1} + f_{n-2})) = (-1)^n({f_{n-1}}^2-f_{n-2}f_{n-1}-{f_{n-2}}^2)=1$$

und für den Übergang

$$(-1)^{n+1}(-f_{n-1} (3f_{n-1} + 2f_{n-2}) + (f_{n-1} + f_{n-2})(2f_{n-1} + f_{n-2})) $$

$$\space = (-1)^{n+1} ({f_{n-2}}^2 + f_{n-2}f_{n-1} - {f_{n-1}}^2)= 1$$

und dies ist lt. Induktionsvoraussetzung erfüllt.

q.e.d.

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