Hallo Sandra,
Probiere mal ein paar Fälle durch, dann kommt man recht schnell auf den möglichen Zusammenhang
$$(-1)^n(-f_{n-2} f_{n+1} + f_{n-1}f_n) = 1$$
Bzw.: \(x_n=-(-1)^nf_{n-2} \) und \(y_n=(-1)^nf_{n-1}\)
Mit \(n=2\) und \(f_0=0\) bis \(f_3=2\) lässt sich dann der Induktionsanfang fix zeigen. Übergang von \(n\) nach \(n+1\) liefert:
$$(-1)^{n+1}(-f_{n-1} f_{n+2} + f_{n}f_{n+1}) = 1$$
was zu beweisen wäre. Dazu breche ich beide Gleichungen auf die Größen \(f_{n-2}\) und \(f_{n-1}\) herunter. Es ist
$$f_n=f_{n-1} + f_{n-2}$$
$$f_{n+1} = 2f_{n-1} + f_{n-2}$$
$$f_{n+2} = 3f_{n-1} + 2f_{n-2}$$
Einsetzen in den Induktionsanfang ergibt die Induktionsvoraussetzung in etwas anderer Form
$$(-1)^n(-f_{n-2}(2f_{n-1} + f_{n-2}) + f_{n-1}(f_{n-1} + f_{n-2})) = (-1)^n({f_{n-1}}^2-f_{n-2}f_{n-1}-{f_{n-2}}^2)=1$$
und für den Übergang
$$(-1)^{n+1}(-f_{n-1} (3f_{n-1} + 2f_{n-2}) + (f_{n-1} + f_{n-2})(2f_{n-1} + f_{n-2})) $$
$$\space = (-1)^{n+1} ({f_{n-2}}^2 + f_{n-2}f_{n-1} - {f_{n-1}}^2)= 1$$
und dies ist lt. Induktionsvoraussetzung erfüllt.
q.e.d.
