Gruppenisomorphismus

Question

ich habe ein Problem mit einer Übungsaufgabe.

Aufgabe 2 (Isomorphismen)
Beweisen Sie, dass es keinen Isomorphismus zwischen den Gruppen Z/4Z und Z/2Z × Z/2Z. Gibt es einen
Isomorphismus zwischen Z/6Z und Z/2Z × Z/3Z?

Ich finde keinen Ansatz für die Aufgabe, weil in unserem Script nichts über Beweise von Isomorphismus steht.

Könnte mir jemand einen Tipp oder Ansatz geben, damit ich die Aufgabe lösen kann.

Comments

Tipp: \(\mathbb Z/4\mathbb Z\) ist zyklisch. \(\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z\) nicht.

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Das heißt wenn ich beweise, dass Z/4Z zyklisch ist und Z/2Z x Z/2Z nicht, dann reicht das als Gegenbeweis?

Und noch eine Frage, wofür steht Z/4Z? Kann man das auch verständlicher schreiben?

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(1) sollte als Beweis ausreichen.
(2) \(\mathbb Z/4\mathbb Z\) meint die Restklassen modulo 4.

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Danke erstaml so weit! Den ersten Teil habe ich lösen können, aber wie beweise ich Isomorphismus? Soll ich einfach zeigen, dass ℤ/6ℤ und ℤ/2ℤ x ℤ/3ℤ beide zyklisch sind?

Habe mir Folgendes überlegt:

ℤ/6ℤ = 0,1,2,3,4,5

ℤ/2ℤ x ℤ/3ℤ = (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2)

0 → (0,0)

1 → (1,1)

2 → (0,2)

3 → (1,0)

4 → (0,1)

5 -> (1,2)

Ich verstehe aber nicht wie ich das formal aufschreiben soll oder ob das überhaupt reicht...

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Damit hast du ja einen Iso. abgegeben. Musst nur zeugen, dass es auch wirklich einer

ist.

injektiv und surjektiv werden ja durch deine ausführliche

Darstellung klar

0 → (0,0)

1 → (1,1)

2 → (0,2)

3 → (1,0)

4 → (0,1)

5 -> (1,2)

Fehlt noch die Verträglichkeit mit der Addition.

Dazu wären eigentlich 36 Gleichungen der Art

f(a+b) = f(a) + f(b) . Das kann man aber wohl abkürzen.

Jedes El. von ℤ/6ℤ  lässt sich ja als Vielfaches von 1 darstellen.

Also ist sowohl das a als auch das b eine Summe von 1en.

Also musst du nur zeigen

aus f(1) = (1,1) folgt

f(1+1) = f(1) + f(1) = (1,1) + (1,1) = (0,2)  Passt also

f(1+1+1) =  f(1) + f(1) + f(1) = (1,1) + (1,1) + (1,1)= (0,2)+ (1,1)=(1,3)

  Passt also auch. Und wegen des Assoziativität hat man damit auch

gleich die Fälle  f(2+1) und f(1+2) .    etc.

Answer 1

Ich denke, dass für "Fortgeschrittene" der Hinweis auf zyklisch

nicht zyklisch reicht. Das sieht mir hier aber eher nach "Anfänger"

aus und a würde ich ausführlicheres Argumentieren auf der Basis

der genannten Idee erwarten. Etwa so:

Es wird  Z/4Z repräsentiert durch die Menge { 0;1;2;3 }

Und wenn man die Idee "zyklisch" (erzeugt durch 1) im

Hinterkopf hat, kann man ja mal so beginnen.

Angenommen f sei so ein Isomorphismus und

es sei (a,b) ∈ Z/2Z x Z/2Z  das Bild von 1

Dann gilt f(1) = (a.b) und

f(2) = f(1+1) =  (a.b) +  (a.b)     , weil f ein Homomorphismus ist .

                    = ( a+a , b+b )  , nach Def. von + in  Z/2Z x Z/2Z

                      = (0 , 0 )  weil in Z/2Z  für alle x gilt  x+x=0

                                       (Es gibt ja nur  0 und 1.

Außerdem gilt

f(0) = f( 2+2) = f(2)+f(2) =  (0 , 0 )+(0 , 0 )=(0 , 0 )

also f(0) = f(2) . Aber es ist 0≠2 in  Z/4Z .

Also ist f nicht injektiv.

Widerspruch !