Beweis: Die Folge ist Konvergenz

Question

Die Folge (a_n) sei gegeben durch die Gleichungen

     a₁=√2,      a₂=(2+√2)^{1/2    .........;}  a_n= (2+a_n+1)^1/2

Man Zeige, dass die Folge Konvergiert und berechne der Grenzwert!

Hinweis: Zum Nachweis der Konvergenz beweise man, dass a_n ≤ 2 für alle n ist und dass die Folge (a_n) monoton wächst

Comments

Soll das eventuell a_n+1= (2+a_n)^1/2 heißen?

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Keine Lösung, nur zwei Tipps: Es soll l a_n+1= (2+a_n)^1/2 heißen.

.Zum Nachweis der Konvergenz beweise man, dass a_n ≤ 2 für alle n ist und dass die Folge (a_n) monoton wächst. Daraus kann man schließen dass der Grenzwert 2 ist.

Answer 1

Zum Nachweis der Konvergenz beweise man, dass a_n ≤ 2 für alle n ist und dass die Folge (a_n) monoton wächst.

Die beiden Beweise sehen wie folgt aus:

a(n + 1) > a(n)
(2 + a(n))^{1/2} > a(n)
2 + a(n) > a(n)^2
a(n)^2 - a(n) - 2 < 0
-1 < a(n) < 2

a(n + 1) < 2
(2 + a(n))^{1/2} < 2
2 + a(n) < 4
a(n) < 2

Answer 2

den ersten Teil kannst du Induktiv machen:

a1<2 passt

a(n+1)=√(2+a(n))<√(2+2)=2

aufgrund der Monotonie der Wurzelfunktion.

Zur Monotonie:

a(n+1)-a(n)

=√(2+a(n))-a(n)>0

aufgrund der Monotonie der Wurzelfunktion.