Im reellen Standardvektorraum R4 seien die vier Standardeinheitsvektoren e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1) sowie die beiden weiteren Vektoren x = (1, 1, 1, 1) und y = (1, 2, 3, 4) gegeben. Bestimmen Sie eine Basis für den Untervektorraum U = ⟨x, y⟩ ∩ ⟨e1, e2, e3⟩ ⊆ R 4.
Da in der Schnittmenge bekanntlich nur Elemente vorhanden sind, welche in beiden Teilmengen vorhanden sind, müssen alle Vektoren der Schnittmenge offensichtlich (wegen ⟨e1, e2, e3⟩) die Form (a,b,c,0) mit a,b,c ∈ ℝ haben.
Ferner lässt sich offensichtlich jeder Vektor der Form (a,b,c,0) in ⟨e1, e2, e3⟩ finden, da es sich um die lineare Hülle der notwendigen Standardeinheitsvektoren handelt.
Folglich sind nur die Vektoren aus ⟨x, y⟩ der Form (a,b,c,0) von Interesse.
Da die ersten 3 Werte egal sind, wird nur der vierte Wert des Vektors betrachtet
a+4b = 0
⇒ a = -1/4 b bzw. b = -4a
4*(1,1,1,1)-(1,2,3,4) = (3,2,1,0) ∈ ⟨x, y⟩ .
Da also alle Vektoren aus U offenbar vielfache von (3,2,1,0) sein müssen, gilt U = ⟨(3,2,1,0)⟩
⇒ das {(3,2,1,0)} die Basis sein muss
