b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades hat in T\((1 |-1 )\) einen Tiefpunkt und in H\((-1|3)\) einen Hochpunkt.
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)
T \((1 |-1 )\):
\(f(1)=a+b+c+d\)
1.) \(a+b+c+d=-1\)
H \((-1|3)\):
\(f(-1)=-a+b-c+d\)
2.) \(-a+b-c+d=3\)
\(f´(x)=3ax^2+2bx+c\)
T \((1 |-1 )\):
\(f´(1)=3a+2b+c\)
3.) \(3a+2b+c=0\)
H\((-1|...)\):
\(f´(x)=3a-2b+c\)
4.) \(3a-2b+c=0\)
u.s.w.
Gegenüberstellung;
Ich verschiebe den Graph um 1 Einheit nach oben:
T \((1 |-1 )\)→T´ \((1 |0 )\) Hier ist eine doppelte Nullstelle:
\(f(x)=a[(x-1)^2(x-N)]\)
\(f'(x)=a[2(x-1)(x-N)+(x-1)^2]\)
H\((-1|...)\)→ H´\((-1|...)\):
\(f'(-1)=a[2(-1-1)(-1-N)+(-1-1)^2]=0\)
\(N=-2\):
\(f(x)=a[(x-1)^2(x+2)]\)
H\((-1|3)\)→H´\((-1|4)\):
\(f(-1)=a[(-1-1)^2(-1+2)]=4\)
\(a=1\):
\(f(x)=(x-1)^2(x+2)\)
1 Einheit nach unten:
\(p(x)=(x-1)^2(x+2)-1\)