Sei x ∈ N gegeben mit x ≥ 2. Zeigen Sie per Induktion, dass x n > n

Question

Die Aufgabe lautet wie folgt: Sei x ∈ N gegeben mit x ≥ 2. Zeigen Sie per Induktion, dass x^n > n.

ich komme momentan beim Induktionsschritt nicht weiter. Bis her habe ich mir folgendes dazu notiert. Eventuell könnt ihr mir weiter helfen.

Induktionsanfang:

Induktion über x

x=2

2ⁿ > n

Induktion über n:

n=1

2¹>1                  √

Induktionsannahme:

∈ℕ,x ≥ 2 : xⁿ>n

Induktionsschritt:

z.z. xⁿ>n

=> x⁽ⁿ⁺¹⁾ > (n+1)

=> x⁽ⁿ⁺¹⁾ = xⁿ  • x > x^(n-1) • x                                                      | hier wollte ich einen kleiner Term für xⁿ einsetzen im die IA zuzeigen 

Nun stellt sich bei mir die Frage: Wie macht man weiter und was ist mit der rechten Seite von unserem Induktionsanfang also das "n".

Über Tipps/antworten würde ich mich sehr freuen.

LG

Comments

$${ x }^{ n+1 }\quad =\quad xx^{ n }\quad \underset { (n.IV) }{ > } \quad xn\quad \underset { (x\ge 2) }{ \ge  } 2n\quad =\quad n+n\quad \ge \quad n+1$$

Answer 1

Induktion über x ist falsch. Das x ist fest gegeben.

Induktion über n fängt gut an,

x⁽ⁿ⁺¹⁾ = xⁿ  • x   und dann wegen Ind.annahme xⁿ > n

         >  n • x    

         ≥  n*2      = n+n und weil n≥1 ist

        ≥    n+1  

Also ist x⁽ⁿ⁺¹⁾  > n+1 gezeigt.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Leider verstehe ich nicht ganz wie du auf die Zeile gekommen bist.

≥  n*2      = n+n und weil n≥1 ist

um es genauer zusagen wie du auf das " *2 " gekommen bist.

und wieso ist n≥1 es würde doch prinzipell n≥0 gehen oder?

Dadurch das x ≥ 2 und man für n = 0 nehmen würde.

Hätten wir bei der IA 1 > 0 oder ist mein Gedankenansatz falsch?

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Meinst du das

  n • x    ( weil x≥2 ist, ist      n • x          ≥  n*2   )

         ≥  n*2