wie kann man die Formel von Moivre–Bine beweisen?

Question

man kann an+1=an+an−1 direkt prüfen
Dazu reicht zu zeigen, dass
15(1+52)n+1=15(1+52)n+15(1+52)n−1 und
15(1−52)n+1=15(1−52)n+15(1−52)n−1.
Die erste Gleichung kann man durch 15(1+52)n−1 kürzen, die zweite durch 15(1−52)n−1.
Es bleibt dann einmal (1+52)2=(1+52)+1 und einmal (1−52)2=(1−52)+1 stehen.

ich weiss leider nicht wie ich dann weiter machen muss um hier eine Löusng zu bekommen

meine Lösung war nur für n > 0 aber ich muss noch  für n=0 und n=1  prüfen aber wie ? einfach einsetzen ? wenn ja ,wo bzw. was soll ich dann am ende bekommen damit ich sage ok das ist die Lösung

also ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen :))

Answer 1

b(0) = 0

b(1) = 1

b(n + 1) = b(n) + b(n - 1)

Zeige dass für alle n gilt:

b(n) = 1/√5·(((1 + √5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n)

Induktionsanfang n = 0 ; n = 1

b(0) = 1/√5·(((1 + √5)/2)^0 - ((1 - √5)/2)^0) = 0

b(1) = 1/√5·(((1 + √5)/2)^1 - ((1 - √5)/2)^1) = 1

Induktionsschritt n und n - 1 --> n + 1

b(n + 1) = b(n) + b(n - 1)

1/√5·(((1 + √5)/2)^{n + 1} - ((1 - √5)/2)^{n + 1}) = 1/√5·(((1 + √5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n) + 1/√5·(((1 + √5)/2)^{n - 1} - ((1 - √5)/2)^{n - 1})

(((1 + √5)/2)^{n + 1} - ((1 - √5)/2)^{n + 1}) = (((1 + √5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n) + (((1 + √5)/2)^{n - 1} - ((1 - √5)/2)^{n - 1})

...

Zeige, dass die Aussage wahr ist.

Comments

  also das ist was ich bis jetzt machen könnte bzw. das was ich bei der Frage vorher meinte

wie gesagt ich weiss vit muss man jetzt ausmultiplizieren aber dann was