Funktionenreihe der Funktionenfolge fn(x)= x^n/(n^3(1+x^n)) auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen

Question

Ich soll die Funktionenreihe der Funktionenfolge f_n(x)= xⁿ /(n³ (1+xⁿ )) auf dem Intervall I=[-0,5;0,5]  n∈ℕ\{0} auf glm. Konvergenz untersuchen.

Dazu möchte ich das Weirstraßsche Majorantenkriterium anwenden.

Zuerst muss man ja den Betrag der Funktionenfolge nach oben abschätzen. Jedoch ist das nicht so leicht möglich, da die von x abhängigen Terme nicht additiv sind.

Wie gehe ich also vor um die Funktionenfolge abzuschätzen?

Comments

Zuerst musst Du Dich mal der Frage widmen, ob es einen punktweisen Grenzwert gibt, sagen wir mal \(f(x)\). Abzuschaetzen waere danach \(|f_n(x)-f(x)|\) und nicht \(|f_n(x)|\) selber. Warum das hier ein Problem sein soll, musst Du erklaeren. Alternativ kannst Du auch für \(f_n(x)-f(x)\) eine kleine Kurvendiskussion machen.

(Und ausserdem ist das Weierstrasssche Majorantenkriterium für Reihen, nicht für Folgen.)

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Wenn ich die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenreihe gezeigt habe, schließt das die punktweise Konvergenz ein.

Deswegen möchte ich auch ein M_k finden, also ein Supremum, dass größer als der Betrag der Funktionenfolge ist also |f_n (x)| ≤ M_k  . Falls nun  ∑∞_k=0  M_k < ∞ weiß ich, dass

∑ⁿ_k=0 f_k (x)  gleichmäßig für ein x∈[-0,5;0,5] konvergiert.

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Sprich doch von vornherein deutlich. Wenn es um eine Reihe geht, dann schreib halt die Reihe, ueber die Du reden willst, hin und rede nicht von Folgen. Abgeschaetzt soll das Reihenglied werden.

$$\left|\frac{x^n}{n^3(1+x^n)}\right|=\frac{|x|^n}{n^3|1+x^n|}\le\,\,?$$ Wo ist denn jetzt die Schwierigkeit für \(|x|^n\) und für \(|1+x^n|\ge1-|x|^n\) passende Schranken für alle \(n\) zu finden, wenn \(x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\) ist?