Gruppen-Isomorphismus zeigen. Gruppe G:(Z15*,*) und H:=(Z8,+) .

Question

Folgende Aufgabe ...Ich soll prüfen, ob die Gruppen Isomorph zueinander sind. Gruppe G:(Z15*,*) und H:=(Z8,+) . Mein Ansatz wäre , dass die Gruppen isomorph sind, da  die Ordnung der Gruppen übereinstimmen.  Nun wurde mir gesagt , dass es eine Voraussetzung sei , dass beide Gruppen zyklisch sein sollen. Was ich aber nicht nachvollziehen kann. Ist dem so und wenn ja warum?  Schon mal ein Dankeschön im Voraus.=

Comments

Das Z15* nicht Zyklisch ist weiß ich bereits. Doch warum ist die Gruppe dann nicht mehr isomorph?

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(Z8,+) ist zyklisch, (Z15*,*) ist nicht zyklisch.

Die Gruppen haben also eine ganz andere Struktur, deswegen können sie auch nicht isomorph zueinander sein.

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Okay, das ist gerade der Punkt wo mir noch das Verständnis fehlt. Die Ordnung beider Gruppen ist doch gleich somit kann ich doch jedem Element einer Gruppe ein anderes Element der anderen Gruppe zuordnen. Inwiefern ist jetzt die zyklische Struktur wichtig?

Answer 1

um das etwas genauer zu untersuchen: Seien G ,H endliche Gruppen der Ordnung n, G zyklisch, w ein Erzeuger von G, und f: G->H ein Isomorphismus.

Dann kannst du G darstellen als G={w⁰,w¹,...,w^n-1}. Setzt du diese in den Isomorphismus ein:

f(w⁰)=f(w)⁰, f(w¹)=f(w)¹, ..., f(w^n-1)=f(w)^n-1

Diese stellen dann offenbar alle Elemente von H dar, da f surjektiv und injektiv ist. f(w) ist  dann ein Erzeuger von H. Somit impliziert ein Isomorphismus zwischen G und H, dass H zyklisch ist. Ist das nicht der Fall, kann auch kein Isomorphismus zwischen G und H existieren.

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Du kannst jedoch sehr wohl bijektive Abbildungen zwischen G und H finden, aber diese werden die Homomorphismuseigenschaft nicht erfüllen.

Grüße

Comments

Erst einmal vielen Dank für die ausführliche Antwort. Mir ist es schon etwas klarer geworden. Heißt es dann auch das die Anzahl der erzeugenden Elementen in beiden Gruppen übereinstimmen müssen, da ich erzeugende Elemente nur auf andere erzeugende Elemente abbilden darf?

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Ah Okay, müsste durch die gleiche Ordnung dann auch automatisch gegeben sein.

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Genau, jedes erzeugende Element von G wird auf eines in H abgebildet, also stimmt ihre Anzahl auch überein. An solchen Dingen sieht man z.B., dass ein Isomorphismus viel mehr ist als eine bijektive Abbildung, sondern seinem Namen "gleiche Form/Gestalt" gerecht wird.