Zeigen, dass Gleichung mit Gruppenhomomorphismus nur unter Bedingung erfüllt sein kann.

Question

Sei K ein Körper und A ∈ K^p×p eine Matrix mit A^m = 0 für ein m ∈ ℕ. Außerdem sei Φ_A: (K^p, +) → (K^p, +) der Gruppenhomomorphismus, der durch Φ_A(x) = A·x gegeben und nicht injektiv ist.

Zeige, dass für λ ∈ K und x ≠ 0 die Gleichung Φ_A(x) = λx nur für λ = 0 erfüllt sein kann.

ich weiß einfach nicht wie ich das zeigen soll. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand zeigen kann, wie ich das zeigen kann (: Lg Laura

Answer 1

Es gelte \(\Phi_A(x)=A\cdot x=\lambda\cdot x\) für ein \(\lambda\in\mathbb K\) und \(x\ne0\).
Es ist \(A^2\cdot x=A\cdot A\cdot x=A\cdot(\lambda\cdot x)=\lambda\cdot(A\cdot x)=\lambda\cdot\lambda\cdot x=\lambda^2\cdot x\).
Induktiv folgt \(A^m\cdot x=\lambda^m\cdot x\), also \(\lambda^m\cdot x=0\). Wegen \(x\ne0\) ist \(\lambda^m=0\), d.h \(\lambda=0\).

MfG

Comments

Wirklich schön und verständlich gezeigt. Dankeschön!

Lg Laura