Zeigen Sie, dass Bij(X) ein Gruppe unter Hintereinanderasuführungen ist (Gruppenhomomorphismus, Kardinalität)

Question

Sei X eine Menge und G eine Gruppe. Sei Bij(X) = { f: X → X | f ist bijektiv} die Menge der bijektiven Abbildungen von X nach X.

a) Zeigen Sie, dass Bij(X) ein Gruppe unter Hintereinanderasuführungen ist.

b) Angenommen X ist endlich, bestimmen Sie die Kardinalität |Bij(X) | in Abhängigkeit von |X|.

c) Wir betrachten einen Gruppenhomomorphismus τ : G → Bij(X). Sei x ∈ X. Wir definieren die Menge Gx = { τ_g(x) |g ∈ G} ⊂ X.

Betrachten Sie zwei Elemente x, x' in X und zeigen Sie, dass entweder Gx = Gx' oder Gx ∩ Gx' = ∅.

Answer 1

Bij(X) ein Gruppe unter Hintereinanderasuführungen ist

Abgeschlossen, weil die Hintereinanderausführung zweier bijektiver

Abb'en von X nach X wieder eine ist.

Assoziativität ist bei  Hintereinanderausführung von Abb'en immer erfüllt.

neutrales El. ist die Identität, die offenbar selber eine bijektive

Abb. von X nach X ist.

Jede bijektive Abb. f hat eine Umkehrabb. Diese ist das inverse El. zu f.

b) Bei endlichen Mengen ist eine bijektive Abb. eine, die lediglich eine

Permutation der Elemente von X erzeugt und durch Angabe der

Permutation auch bestimmt ist.  Deren Anzahl ist |X| !

Comments

c) Die Gruppe G operiert via \( \tau \) auf X durch $$ gx := \tau(g)(x) $$ Das Objekt \( Gx = \{ \tau(g)(x) = gx ~|~ g \in G \} \) nennt man die Bahn oder den Orbit von x.

Jetzt weiß man vielleicht, dass durch

$$ x_1 \sim x_2 \iff \exists g \in G : gx_1 = x_2 $$

eine Äquivalenzrelation auf X gegeben ist, deren Äquivalenzklassen gerade die Bahnen der Gruppenoperation sind. Äquivalenzklassen bilden aber immer eine Partition. Folglich sind zwei Bahnen entweder gleich oder disjunkt.

---

Den interessantesten Teil hatte er weggelassen ^^