Kettenlinie h(x) = k*cosh(x/k). Tiefster Punkt?

Question

Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?

Wie bestimmt man den tiefsten Punkt des Seils und zeigt, dass der Höhe 2k und Abstand 2 a ist?

Wie geht man da vor allem vor?

Wäre sehr nett, wenn ihr mir da helfen könntet :)

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EDIT: "Arkusfunktion" aus der Überschrift entfernt, da falsch.

Answer 1

Das ist keine Arkusfunktion sondern eine Kosinus-Hyperbolikus-Funktion. Ihr tiefster Punkt liegt offensichtlich bei x=0 und h(0)=k. Der tiefste Punkt des Seils ist (0|k). Der halbe Abstand a auf der Höhe 2k wird mit dem Ansatz 2k=h(2k) gefunden.

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soll ich einfach 2k in die Funktion kln(2+Wurzel(3)) einsetzen?

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Oswald hat es unten vorgemacht.

Answer 2

> Wie bestimmt man den tiefsten Punkt des Seils

Ableitung gleich Null setzen, nach x auflösen.

Lösungen mit einem hinreichenden Kriterium validieren (Vorzeichenwechselkriterium, zweite Ableitung).

> und zeigt, dass der Höhe 2k und Abstand 2 a ist

Das ist nicht die Aufgabenstellung. Die Aufgabenstellung lautet

        Wenn die Höhe der Aufhängepunkte 2k ist,
        dann gilt für deren Abstand 2a, dass a = k·ln(2+√3) ist.

Das zeigt man, indem man davon ausgeht, dass die Höhe der Aufhängepunkte 2k ist, dass also

        2k = k·cosh(x/k)

ist. Der Abstand der Aufhängepunkte ist der Abstand zwischen den zwei x-Werten, die diese Gleichung lösen. Wegen der Achsensymmtrie von cosh sollen also x = k·ln(2+√3) und x = -k·ln(2+√3) Lösungen dieser Gleichung sein. Überprüfe das. Zeige dann, dass es die einzigen Lösungen sind. Das geht zum Beispiel über Monotonie.

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Also sollte man dann die erste Ableitung nehmen und dann das x berechnen?

Wie geht man da am besten vor?? kannst du mir bitte helfen?

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> Also sollte man dann die erste Ableitung nehmen und dann das x berechnen?

Um das x zu berechnen braucht man eine Gleichung. Die Ableitung ist keine Gleichung, sondern eine Funktion.

Die Gleichung bekommst du, indem du die Ableitung gleich Null setzt.

> Wie geht man da am besten vor??

Man verwendet die Definition von cosh(x).

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Meinst du coshx= (e^x+e^-x)/2 ?? Davon die erste Ableitung?

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Ja, genau das meine ich.

Answer 3

Hier einmal meine Antwort auf den
ersten Teil der Frage

h ( 0 ) = k
Tiefster Punkt ( 0 | k )