Ungleichung, lineare Abbildung

Question

wie zeige ich die obige Ungleichung? kann mir bitte dabei jemand helfen?

phi² ist doch gleich phi oder?

Answer 1

> phi² ist doch gleich phi oder?

Was phi² ist, steht in der Aufgabenstellung.

Beispiel. \(\varphi: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \vec{v}\mapsto A\cdot \vec{v}\) mit \(A=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}\)

Dann ist \(\varphi^2: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \vec{v}\mapsto \varphi(\varphi(\vec{v}))\). Um \(\varphi^2(\vec{v})\) zu berechnen wird also \(\varphi\) auf \(\vec{v}\) angewendet und auf das Ergebnis nochmals \(\varphi\) angewendet.

Da in diesem Beispiel \(\varphi\) in Form einer Matrixmultiplikation vorliegt, kann das noch vereinfacht werden: \(\varphi(\varphi(\vec{v})) = A\cdot(A\cdot \vec{v})=(A\cdot A)\cdot\vec{v}=A^2\cdot\vec{v}\).

Somit ist \(\varphi^2(\vec{v})=\begin{pmatrix}7&10\\15&22 \end{pmatrix}\cdot\vec{v}\).

> wie zeige ich die obige Ungleichung?

Es ist Kern(φ) ⊆ Kern(φ²). Was nämlich durch φ auf den Nullvektor abgebildet wird, dass wird auch durch nochmalige Anwendung von φ auf den Nullvektor abgebildet.

Es stellt sich die Frage, welche Vektoren dafür sorgen können, dass Kern(φ) ≠ Kern(φ²) ist. Das sind die Vektoren, die zwar nicht im Kern von φ liegen, die aber durch φ auf einen Vektor im Kern von φ abgebildet werden. Die zweite Anwendung von φ führt dann nämlich dazu, dass sie auf den Nullvektor abgebildet werden. Mit anderen Worten, die Vektoren aus φ^-1(Kern(φ))\Kern(φ) werden erst durch die zweite Anwenddung von φ auf den Nullvektor abgebildet.

Die Menge φ^-1(Kern(φ)) ist also die Menge der Vektoren, die durch die erste oder die zweite Anwendung von φ auf den Nullvektor abgebildet. Also ist

        Kern(φ²) = φ^-1(Kern(φ)).

Sei U = Kern(φ²). U ist ein Untervektorraum. Sei φ_U die Einschränkung von φ auf den Definitionsbereich U.

Dann ist dim(Bild(φ_U)) + dim(Kern(φ_U)) = dim(U).

(1)        Wegen Kern(φ_U) ⊆ Kern(φ)  ist dim(Kern(φ_U)) ≤ dim(Kern(φ)). N.B. φ_U und φ haben die gleiche Abbildungvorschrift, aber φ_U hat einen möglicherweisere kleineren Definitionsbereicht..

(2)        Wegen Bild(φ_U) = Kern(φ) ist dim(Bild(φ_U)) = dim(Kern(φ)).

Zusammen ist also

            dim(Kern(φ²))

        = dim(U)        laut Definition von U

        = dim(Bild(φ_U)) + dim(Kern(φ_U))        laut Dimensionssatz und Definition φ_U

        ≤ dim(Bild(φ_U)) + dim(Kern(φ))        wegen (1)

        = dim(Kern(φ)) + dim(Kern(φ))        wegen (2)

        = 2 · dim(Kern(φ)).

Answer 2

phi² ist doch gleich phi oder?    Nein

phi² ist die 2-malige  Hintereinanderausführung von  phi .

Ich gehe mal davon aus, dass phi (Ich nenne es mal f) ein Endomorphismus eines

endlichdimensionalen Vektorraumes V ist.

Das steht vermutlich so ähnlich in den Voraussetzungen der Aufgabe

Zu deiner Ungleichung kannst du mit Hilfe der Dimensionsformel kommen.

Etwa so

dim Kern(f) + dim Bild(f) = dim V   und  weil f² ja auch ein Endo. auf V ist

dim Kern(f²) + dim Bild(f²) = dim V

gibt zusammen

dim Kern(f²) =  dim Kern(f) + dim Bild(f)   -   dim Bild(f²)        #

Bei der Hintereinanderausführung fof  bewirkt die 2. Anwendung von

f das Gleiche wie die Anwendung eines Homomorphismus a, der

durch Einschränkung von f auf Bild ( f ) entsteht.  Für den gilt dann ja

dim Kern(a) + dim Bild(a) =  dim Bild(f)

Und Bild(a) = Bild(f²), also

dim Kern(a)  =  dim Bild(f) - + dim Bild(f²) eingesetzt bei # gibt das

dim Kern(f²) =  dim Kern(f) + dim Kern(a)    ##

Und weil a eine Einschränkung von f ist,

gilt Kern(a) ⊆ Kern(f) , also

dim Kern(a) ≤  dim Kern(f) , also wird aus ##

dim Kern(f²) ≤  dim Kern(f) + dim Kern(f)  = 2* dim Kern(f)   q.e.d.