Question

Zeige: x²/(x+1) ist Lipschitz-stetig.

Meine Idee wäre erstmal die Stetigkeit zu beweisen, und dann mit L = epsilon/delta.

Aber komme auch beim Stetigkeitsbeweis nicht weiter.

Comments

ist ein intervall angegeben, zB. [0 , ∞)  oder nicht?

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genau, [0,+∞[

Answer 1

Hi,

eine differenzierbare Funktion 

$$f: \ \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$

ist genau dann eine q-Kontraktion mit q<1, wenn

$$|f'(x)| \le q$$

für alle x ∈ ℝ. Dieses q ist dann deine Lipschitz-Konstante.

Damit kannst du zeigen, dass die Funktion Lipschitz stetig auf (0,∞) ist.

Die Stelle x = 0 kannst du aber dann noch mal extra behandeln (einfach mit der Definition der Lipschitz-Stetigkeit zeigen) und die größere der beiden Konstanten als L-Konstante verwenden.

Comments

Hi,

danke für die Antwort.

Leider haben wir Ableitungen noch nicht behandelt und dürfen diese somit nicht verwenden.

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Bitte.

Ok, dann ohne:

$$|\frac{x^2}{x+1}-\frac{y^2}{y+1}| \\ \le \frac{|x^2-y^2|+|xy| \cdot |x-y|}{|x+1| \cdot |y+1|} \\ = |x-y| \cdot \frac{|x+y|+|xy|}{|x+1| \cdot |y+1|} \\ = |x-y| \cdot ( \frac{|x+y|}{|x+1| \cdot |y+1|} + \frac{|xy|}{|x+1| \cdot |y+1|})$$

Den hinteren Bruch kannst du direkt abschätzen.

Nun würde ich noch eine Fallunterscheidung machen für den vorderen Bruch und die größere der beiden Konstanten dann als L-Konstante nehmen:

1. Fall: x ∧ y ≥ 1 

2. Fall x ∨ y <1