Extremwertaufgabe Trapez im Kreis einbeschreiben

Question

 EDIT: Gleichschenkliges Trapez mit maximaler Fläche im Kreis einbeschreiben  

ich komme hier nicht weiter, ich finde keinen Ansatz.

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EDIT: Bitte Text jeweils abtippen: https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

Answer 1

Formel für Trapez aufstellen:

        F = ½ · (g₁ + g₂) · h.

Dabei sind g₁ und g₂ die parallelen Seiten und h deren Abstand.

Nebenbedingung aus der Aufgabenstellung als Gleichung formulieren:

        g₁ = 2x

        g₂ = 2r

        h² = r² - x² 

Nebenbedingung in Formel einsetzen:

        F(x) = ½ · (2x + 2r) · √(r² - x²).

Hochpunkt bestimmen mit Analysis.

Comments

F(x) = ½ · (2x + 2r) · √(x^{2} + r^{2}).

Gilt nur im Spezialfall  x = 0

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So im Nachhinein betrachtet ist das tatsächlich etwas mager. Ich habe meine Lösung deshalb noch mal auf 0 ≤ x ≤ r verallgemeinet.

Answer 2

Ich habe x mal als die Höhe genommen. x steht hier ja eigentlich am Radius, der soll doch aber mit r gegeben sein oder nicht ?

x^2 + (a/2)^2 = r^2 --> a = 2·√(r^2 - x^2)

A = 1/2·(2·r + 2·√(r^2 - x^2))·x = x·(√(r^2 - x^2) + r)
A' = 1·(√(r^2 - x^2) + r) + x·(1/(2·√(r^2 - x^2))·(-2·x)) = (r·√(r^2 - x^2) - 2·x^2 + r^2)/√(r^2 - x^2)

A' = 0
r·√(r^2 - x^2) - 2·x^2 + r^2 = 0
r·√(r^2 - x^2) = 2·x^2 - r^2
r^2·(r^2 - x^2) = (2·x^2 - r^2)^2
r^4 - r^2·x^2 = 4·x^4 - 4·r^2·x^2 + r^4
4·x^4 - 3·r^2·x^2 = 0
x^2·(4·x^2 - 3·r^2) = 0
4·x^2 - 3·r^2 --> x = √3/2·r = 0.8660·r

Comments

mhhh, ja die Bezeichungen sind nicht eindeutig:

Musterlösung:

A(max) = (3√3)/4 * r^2    bei x =r/2

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Ach jetzt ist mit klar was x ist. 

x ist bei mir a/2

a = 2·√(r^2 - x^2)

a/2 = √(r^2 - x^2) = √(r^2 - (√3/2·r)^2) = r/2

Damit kann ich also die Musterlösung bestätigen.

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ich bin jz verwirrt, a/2 ist bei dir was?

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Naja. a habe ich die Hälfte der oberen Seite genannt. a/2 ist daher die eine Hälfte. Das soll in der Aufgabe das x sein. Das x gehört also zu der Stelle an der die Höhe aufsetzt. So mus man davon ausgehen das die Stelle 0 im Kreismittelpunkt liegt. Das ist auch im nachhinein logisch. War für mich aber nicht gleich ersichtlich. Deswegen hatte ich einfach im ersten Anlauf definiert, dass bei mir x die Höhe ist. Im zweiten Anlauf würde ich das jetzt auch anders machen aber das ist ja eigentlich wurscht.

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danke für den anfang! ich muss mich da noch etwas reinarbeiten, um einen besseren Blick dafür zu bekommen:-). Solche Aufgaben gehören nicht zu denen, wo ich mich gerne ran setzte.

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Hier mal ein Update mit dem richtigen x.

Nebenbedingung
x^2 + h^2 = r^2 --> h = √(r^2 - x^2)

Hauptbedingung und Zielfunktion
A = 1/2·(2·r + 2·x)·√(r^2 - x^2) = (r + x)·√(r^2 - x^2)
A' = 1·√(r^2 - x^2) + (r + x)·1/(2·√(r^2 - x^2))·(- 2·x) = (r^2 - r·x - 2·x^2)/√(r^2 - x^2)

Extrempunkt A' = 0
r^2 - r·x - 2·x^2 = 0 --> x = r/2 [oder x = -r]

Berechnung der anderen Werte
h = √(r^2 - x^2) = √(r^2 - (r/2)^2) = √3/2·r = 0.8660·r
A = 1/2·(2·r + 2·(r/2))·(√3/2·r) = 3/4·√3·r^2 = 1.299·r^2