Ich versuche mal (1) ==> (2).
Sei also f stetig und O offen.
Dann ist zu zeigen: f -1(O) offen, d.h.
Für jedes xo ∈ f -1(O) existiert eine ganze Umgebung von xo, die
vollständig in f -1(O) liegt, also
Für alle xo ∈ f-1(O) existiert ein eps>0 mit Uε(xo) ⊆ f -1(O)
oder auch so formuliert:
Für alle xo ∈ f-1(O) existiert ein eps>0 mit
| x-xo| < eps ==> x ∈ f -1(O) . #
Sei also xo ∈ f -1(O) .
Dann gibt es ein yo ∈ O mit f(xo) = yo und wegen der
Offenheit von O ein eps > 0 mit Uε(yo) ⊆ O. Das heißt:
Für alle y mit | y - yo| < eps ==> y ∈ O . ##
Wegen der Stetigkeit von f in xo gibt es zu diesem eps ein
delta mit |x-xo| < delta ==> | f(x) - f(xo) | < eps, also
wegen ## f(x) ∈ O , also x ∈ f -1(O) .
Also ist dieses delta das in # geforderte eps. q.e.d.
So ähnlich, also durch strikte Anwendung der
Definitionen kann man wohl auch die anderen
Folgerungen beweisen.
