Bestimmen Sie Lage und Art der kritischen Punkte von f. f(x,y,z)=2x^2+y^2+2z^2+4yz

Question

ich habe die folgende Aufgabe:

ich kann die Lage der kritischen Punkte nicht bestimmen. 

Den Rest habe ich soweit gelöst, habe die Funktion partiell abgeleitet, Hesse-Matrix bestimmt und die Eigenwerte raus usw... 

Wie komme ich jetzt auf die Lage?

mfg 

Answer 1

f(x,y,z) = 2·x^2 + y^2 + 2·z^2 + 4·y·z

f'x = 4·x = 0

f'y = 2·y + 4·z = 0

f'z = 4·y + 4·z = 0

Hat der einzige kritische Punkt nicht die Koordinate (0, 0, 0, 0).

Comments

du meinst (0,0,0)... und ja das dachte ich auch aber stimmt das?

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Naja, zu x, y, z gibt es noch den Funktionswert f(x, y, z). Das wäre dann der 4. Wert.

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ok und was sagen die anderen dazu? ist das die einzige kritische stelle?

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Müssen nicht für eine kritische Stelle alle ersten partiellen Ableitungen Null werden?

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ich stelle hier die fragen... XD

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Das ist doch eine Frage, die du sehr leicht mit Google beantworten kannst.

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!207:Mehrdimensionale_Extremstellen

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ok also wenn ich die dgl aus den ersten ableitungen auflöse, bekomme ich für x, y und z  raus... 

also ist meine kritische stelle (0,0,0) und mein extrempunkt, ein Minium, wäre (0,0,0,4)?

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Wie kommst du darauf das wenn du x = y = z = 0 einsetzt, dass dann 4 heraus kommt ?

Und woher nimmst du die Kenntnis, dass es ein Minimum ist ?

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meinte den 4.wert... habs falsch aufgeschrieben... sollte 0 sein oder?

Das habe ich schon ausgerechnet.. ist oben in der Fragestellung mit drin. 

mfg

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Ja der Wert ist auch 0.

Check mal in der Hesse-Matrix den Wert links oben. Das ist der einzige, den ich anders habe.

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jap da kommt eine 4 rein xD... 

kann es sein, dass da trotzdem ein Minimum rauskommt?

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Edit: ich bekomme für λ was komisches mit 8.56 raus.. und damit wäre die hesse matrix positiv definit und somit also ein Minimum?

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Was ist der Funktionswert f(0,0,0) und was der Funktionswert f(0, 0.5, -0.5) ?

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das mit 8.56 ist sinnlos vergiss es... hab da in meiner Rechnung vergessen an einer Stelle die 0 mit ner 4 zu ersetzen... 

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f(0,0,0) = 0, ich danke das ist unsere Extremstelle und zwar ein Minimum, glaub ich... ich versuch das gerade rechnerisch zu bestimmen... 

was das andere sein soll, weiß ich nciht... 

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Das erste was ich mache wäre die 3 Hauptminoren auszurechnen. Leider gibt das Kriterium hier aber keine Aussage. Also muss man noch die Eigenwerte bemühen. Dort habe ich 

k = 7.123105625 ∨ k = -1.123105625 ∨ k = 4

Schaut hier also nicht so aus als hätte man ein Minimum oder Maximum.

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Was bereitet dir an f(0, 0.5, -0.5) Probleme ?

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Hey ich lerne seit einigen Stunden und da passieren eben mal Fehler aber wie konntest du das übersehen? :) ich habe im Titel versehentlich y^2 aber die Aufgabenstellung ist mit y^4... ich habe aber auch die ganze Zeit mit y^2 gerechnet... 

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Ich lese mir nie die ganze Fragestellung auf. Ich übernehme die Funktion mit Copy und Paste in mein Rechenprogramm und gehe davon aus der der Fragesteller sowas natürlich mal prüft. 

Aber dann weißt du ja jetzt wie es geht und kannst das mit y^4 nochmals berechnen.

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haha ok also jetzt mal die richtige Aufgabe... 

was sagt denn dein Rechenprogramm über die Lage und die Art der Extremstellen?

mfg

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jo ich weiß es jetzt ungefähr... aber wäre gut die Lösung zu haben, damit ich meine Rechnung korrigieren kann. 

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Kritische Stellen sind

(x = 0 ∧ y = -1 ∧ z = 1) ∨ (x = 0 ∧ y = 1 ∧ z = -1) ∨ (x = 0 ∧ y = 0 ∧ z = 0)

Prüfen mit Wolfram

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+2x%5E2%2By%5E4%2B2z%5E2%2B4yz

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noch eine kurze Frage...

was ist mit (0,0,0), ich bekomme da irgendwie nichts raus? wieso ist das eine kritische Stelle? und wieso zeigt wolfram dazu nichts an? 

mfg

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Wenn du für x, y und z jeweils Null in die partiellen Ableitungen einsetzt kommt doch immer Null heraus. Also ist das eine kritische Stelle. 

Es ist allerdings kein Hoch- bzw. Tiefpunkt, weswegen Wolfram den auch geschickt verschweigt.

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ok habe ich überhaupt richtig gerechnet? hier mit der ersten krit. Stelle (0,1,-1)

Wenn ich dasselbe mit (0,0,0) mache bekomme ich da ein Maximum... deshalb habe ich mich gewundert... aber wahrscheinlich habe ich einfach n fehler in der rechnung... 

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Das sieht soweit richtig aus.

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ist eine Weile her, aber ich wiederhole die Aufgabe gerade... ich verstehe noch nicht ganz wieso 0,0,0 eine Kritische Stelle ist, und wieso ich damit nicht weiterrechne, sondern das einfach als kritische Stelle stehen lasse?

bei 0=0 hat doch das LGS unendlich viele Lösungen und ich muss 'n Parameter für eines der Variable einführen... kann ich hier also die Lösung (0,0,0) deswegen ignorieren, weil das keine richtige Lösung ist?

weil, wenn ich damit weiterrechne und in das charakteristische Polynom 0 für y einsetze, lande ich bei einem Maximum am Ende... aber das nur auf Papier wie es aussieht, denn wie du schon sagtest, gibt wolfram da keine Extremstelle an... 

mfg

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ist eine Weile her, aber ich wiederhole die Aufgabe gerade... ich verstehe noch nicht ganz wieso 0,0,0 eine Kritische Stelle ist, und wieso ich damit nicht weiterrechne, sondern das einfach als kritische Stelle stehen lasse?

Du machst immer folgende 3 Dinge.

1. Du bestimmst zunächst die kritische(n) Stelle(n).

2. Du berechnest den Funktionswert für diese Stelle.

3. Du prüfst auf Art dieses Punktes. Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt.