Profil einer Böschung (Tangenten)

Question

Aufgabe:

Das Profil einer Böschung wird durch den Graphen der Funktion f mit  \( f(x)=\sqrt{x} \) beschrieben.

a) Berechnen Sie den Steigungswinkel der Böschung in \( B_{1} (1|1) \) und \( B_{2}(9|3) \).

b) An die Böschung wird eine Rampe mit Steigungswinkel 14° gebaut, die im Punkt \( B(1|1) \) an der Böschung endet. Begünnden Sie, dass diese Rampe nicht knickfrei an der Böschung endet. Wo beginnt diese Rampe und wie lang wird sie?

c) An die Böschung soll eine Rampe mit 14° Steigung knickfrei angebaut werden. Wo beginnt die Rampe an der Böschung und wie lang wird sie?

Answer 1

Funktion & Ableitung

f(x) = √x
f'(x) = 1/(2·√x)

a) Berechnen Sie den Steigungswinkel der Böschung in B1(1 | 1) und B2(9 | 3).

α1 = ATAN(f'(1)) = 26.57°
α2 = ATAN(f'(9)) = 9.46°

b) An die Böschung wird eine Rampe mit Steigungswinkel 14° gebaut, die im Punkt B(1 | 1) ab der Böschung endet. Wo beginnt diese Rampe und wie lang wird sie?

TAN(14°) = 1/x --> x = 4.011 m --> Die Rampe beginnt bei 1 - 4.011 = -3.011 m
SIN(14°) = 1/s --> s = 4.134 m --> Die Rampe wird 4.134 m lang

c) Ab die Böschung soll eine Rampe mit 14° Steigung knickfrei angebaut werden. Wo beginnt die Rampe an der Böschung und wie lang ist sie.

f'(x) = TAN(14°) = 0.2493 --> x = 4.022 m
f(4.022) = 2.005 m

TAN(14°) = 2.005/x --> x = 8.042 m --> Die Rampe beginnt bei 4.022 - 8.042 = -4.020 m

Answer 2

Vielleicht hilft dir dies schon weiter

https://www.mathelounge.de/474443/profil-einer-boschung-funktion-wurzel-beschrieben-besten

Ansonsten wieder melden.

Comments

Ich weiß nicht ob obiges eine ähnliche Frage ist.

Hier schon einmal a.)

f ( x ) = √ x
f ´( x ) = 1 / ( 2 * √ x )

f ´ ( 1 ) = 1 / ( 2 * √ 1 )
f ´( 1 ) = 1/2  => 26.57 °

f ´ ( 9 ) = 1 / ( 2 * √ 9 )
f ´( 9 ) = 1/6  => 9.46 °

---

b.)
im Punkt ( 1 | 1 ) ist die Steigung
26.57 °. Die Rampe hat 14 °.
Dies ist kein knickfreier Übergang.

Rampenlänge
sin ( 14 ) = 1 / Länge Rampe ( Hypotenuse )

tan ( 14 ) = 1 / Horizontallänge ( Ankathete )

c.)
f ´( x ) = 1 / ( 2 * √ x )  = tan ( 14 )
1 / ( 2 * √ x )  = tan ( 14 )
x = 4.02 m
f ( 4.02 ) = 2 m
( 4.02 | 2 )